Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} + x^{3} - 18 x^{2} + 7$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + x^{3} - 18 x^{2} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 18 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 18$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 0$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $4 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Schritt 1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Da $- 36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 36 x$ nach $x$ gleich $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 36 \frac{d}{d x} x$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 36 \cdot 1$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $- 36$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 36$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} + 6 x - 36$ .

$12 x^{2} + 6 x - 36$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} + 6 x - 36 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} + 6 x - 36 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12 x^{2} + 6 x - 36$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $6$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$6 (2 x^{2}) + 6 x - 36 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) - 36 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $6$ aus $- 36$ heraus.

$6 (2 x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 6 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $6$ aus $6 (2 x^{2}) + 6 x$ heraus.

$6 (2 x^{2} + x) + 6 \cdot - 6 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (2 x^{2} + x) + 6 \cdot - 6$ heraus.

$6 (2 x^{2} + x - 6) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$6 (2 x^{2} + 1 x - 6) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Schreibe $1$ um als $- 3$ plus $4$

$6 (2 x^{2} + (- 3 + 4) x - 6) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (2 x^{2} - 3 x + 4 x - 6) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$6 ((2 x^{2} - 3 x) + 4 x - 6) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$6 (x (2 x - 3) + 2 (2 x - 3)) = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 3$ .

$6 ((2 x - 3) (x + 2)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 (2 x - 3) (x + 2) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 2.4

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 2.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 (2 x - 3) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{2}, - 2$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze $\frac{3}{2}$ in $f (x) = x^{4} + x^{3} - 18 x^{2} + 7$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = {(\frac{3}{2})}^{4} + {(\frac{3}{2})}^{3} - 18 {(\frac{3}{2})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{3^{4}}{2^{4}} + {(\frac{3}{2})}^{3} - 18 {(\frac{3}{2})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{2^{4}} + {(\frac{3}{2})}^{3} - 18 {(\frac{3}{2})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + {(\frac{3}{2})}^{3} - 18 {(\frac{3}{2})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{3^{3}}{2^{3}} - 18 {(\frac{3}{2})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.5

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{2^{3}} - 18 {(\frac{3}{2})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.6

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} - 18 {(\frac{3}{2})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.7

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} - 18 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 7$

Schritt 3.1.2.1.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} - 18 \frac{9}{2^{2}} + 7$

Schritt 3.1.2.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} - 18 (\frac{9}{4}) + 7$

Schritt 3.1.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.10.1

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} + 2 (- 9) (\frac{9}{4}) + 7$

Schritt 3.1.2.1.10.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} + 2 \cdot (- 9 \frac{9}{2 \cdot 2}) + 7$

Schritt 3.1.2.1.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} + 2 \cdot (- 9 \frac{9}{2 \cdot 2}) + 7$

Schritt 3.1.2.1.10.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} - 9 (\frac{9}{2}) + 7$

Schritt 3.1.2.1.11

Kombiniere $- 9$ und $\frac{9}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} + \frac{- 9 \cdot 9}{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.12

Mutltipliziere $- 9$ mit $9$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} + \frac{- 81}{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} - \frac{81}{2} + 7$

Schritt 3.1.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{27}{8}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27}{8} \cdot \frac{2}{2} - \frac{81}{2} + 7$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{27}{8}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{81}{2} + 7$

Schritt 3.1.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{81}{2}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 2} - (\frac{81}{2} \cdot \frac{8}{8}) + 7$

Schritt 3.1.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{81}{2}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{81 \cdot 8}{2 \cdot 8} + 7$

Schritt 3.1.2.2.5

Schreibe $7$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{81 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{7}{1}$

Schritt 3.1.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{7}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{81 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{7}{1} \cdot \frac{16}{16}$

Schritt 3.1.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{7}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{81 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{7 \cdot 16}{16}$

Schritt 3.1.2.2.8

Stelle die Faktoren von $8 \cdot 2$ um.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 8} - \frac{81 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{7 \cdot 16}{16}$

Schritt 3.1.2.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{16} - \frac{81 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{7 \cdot 16}{16}$

Schritt 3.1.2.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 2}{16} - \frac{81 \cdot 8}{16} + \frac{7 \cdot 16}{16}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81 + 27 \cdot 2 - 81 \cdot 8 + 7 \cdot 16}{16}$

Schritt 3.1.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.4.1

Mutltipliziere $27$ mit $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81 + 54 - 81 \cdot 8 + 7 \cdot 16}{16}$

Schritt 3.1.2.4.2

Mutltipliziere $- 81$ mit $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81 + 54 - 648 + 7 \cdot 16}{16}$

Schritt 3.1.2.4.3

Mutltipliziere $7$ mit $16$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81 + 54 - 648 + 112}{16}$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.5.1

Addiere $81$ und $54$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{135 - 648 + 112}{16}$

Schritt 3.1.2.5.2

Subtrahiere $648$ von $135$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 513 + 112}{16}$

Schritt 3.1.2.5.3

Addiere $- 513$ und $112$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 401}{16}$

Schritt 3.1.2.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{401}{16}$

Schritt 3.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{401}{16}$ .

$- \frac{401}{16}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{3}{2}$ in $f (x) = x^{4} + x^{3} - 18 x^{2} + 7$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{3}{2}, - \frac{401}{16})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{3}{2}, - \frac{401}{16})$

Schritt 3.3

Ersetze $- 2$ in $f (x) = x^{4} + x^{3} - 18 x^{2} + 7$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} + {(- 2)}^{3} - 18 {(- 2)}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f (- 2) = 16 + {(- 2)}^{3} - 18 {(- 2)}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f (- 2) = 16 - 8 - 18 {(- 2)}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = 16 - 8 - 18 \cdot 4 + 7$

Schritt 3.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 18$ mit $4$ .

$f (- 2) = 16 - 8 - 72 + 7$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$f (- 2) = 8 - 72 + 7$

Schritt 3.3.2.2.2

Subtrahiere $72$ von $8$ .

$f (- 2) = - 64 + 7$

Schritt 3.3.2.2.3

Addiere $- 64$ und $7$ .

$f (- 2) = - 57$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 57$ .

$- 57$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 2$ in $f (x) = x^{4} + x^{3} - 18 x^{2} + 7$ ermittelt werden kann, ist $(- 2, - 57)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 2, - 57)$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(\frac{3}{2}, - \frac{401}{16}), (- 2, - 57)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 12 {(- 2.1)}^{2} + 6 (- 2.1) - 36$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2.1$ mit $2$ .

$f'' (- 2.1) = 12 \cdot 4.41 + 6 (- 2.1) - 36$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 52.92 + 6 (- 2.1) - 36$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 52.92 - 12.6 - 36$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $12.6$ von $52.92$ .

$f'' (- 2.1) = 40.32 - 36$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $36$ von $40.32$ .

$f'' (- 2.1) = 4.32$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $4.32$ .

$4.32$

Schritt 5.3

Bei $- 2.1$ ist die zweite Ableitung $4.32$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - 2)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, \frac{3}{2})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.25$ .

$f'' (- 0.25) = 12 {(- 0.25)}^{2} + 6 (- 0.25) - 36$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 0.25$ mit $2$ .

$f'' (- 0.25) = 12 \cdot 0.0625 + 6 (- 0.25) - 36$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0.0625$ .

$f'' (- 0.25) = 0.75 + 6 (- 0.25) - 36$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 0.25$ .

$f'' (- 0.25) = 0.75 - 1.5 - 36$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $1.5$ von $0.75$ .

$f'' (- 0.25) = - 0.75 - 36$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $36$ von $- 0.75$ .

$f'' (- 0.25) = - 36.75$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 36.75$ .

$- 36.75$

Schritt 6.3

Bei $- 0.25$ , die zweite Ableitung ist $- 36.75$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 2, \frac{3}{2})$

Abfallend im Intervall $(- 2, \frac{3}{2})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{3}{2}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.6$ .

$f'' (1.6) = 12 {(1.6)}^{2} + 6 (1.6) - 36$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Potenziere $1.6$ mit $2$ .

$f'' (1.6) = 12 \cdot 2.56 + 6 (1.6) - 36$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $2.56$ .

$f'' (1.6) = 30.72 + 6 (1.6) - 36$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $1.6$ .

$f'' (1.6) = 30.72 + 9.6 - 36$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Addiere $30.72$ und $9.6$ .

$f'' (1.6) = 40.32 - 36$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $36$ von $40.32$ .

$f'' (1.6) = 4.32$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $4.32$ .

$4.32$

Schritt 7.3

Bei $1.6$ ist die zweite Ableitung $4.32$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{3}{2}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{3}{2}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 57), (\frac{3}{2}, - \frac{401}{16})$ .

$(- 2, - 57), (\frac{3}{2}, - \frac{401}{16})$

Schritt 9