Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{3}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18 x^{2}$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x^{2}$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

Schritt 1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36 x$ nach $x$ gleich $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36 \cdot 1$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $36$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} + 48 x + 36$ .

$12 x^{2} + 48 x + 36$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} + 48 x + 36 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} + 48 x + 36 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{2} + 48 x + 36$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$12 (x^{2}) + 48 x + 36 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $12$ aus $48 x$ heraus.

$12 (x^{2}) + 12 (4 x) + 36 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $12$ aus $36$ heraus.

$12 x^{2} + 12 (4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{2} + 12 (4 x)$ heraus.

$12 (x^{2} + 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $12$ aus $12 (x^{2} + 4 x) + 12 \cdot 3$ heraus.

$12 (x^{2} + 4 x + 3) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 4 x + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $4$ ist.

$1, 3$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$12 ((x + 1) (x + 3)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$12 (x + 1) (x + 3) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 (x + 1) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, - 3$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze $- 1$ in $f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 8 {(- 1)}^{3} + 18 {(- 1)}^{2} + 8$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- 1) = 1 + 8 {(- 1)}^{3} + 18 {(- 1)}^{2} + 8$

Schritt 3.1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- 1) = 1 + 8 \cdot - 1 + 18 {(- 1)}^{2} + 8$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 8 + 18 {(- 1)}^{2} + 8$

Schritt 3.1.2.1.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = 1 - 8 + 18 \cdot 1 + 8$

Schritt 3.1.2.1.5

Mutltipliziere $18$ mit $1$ .

$f (- 1) = 1 - 8 + 18 + 8$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$f (- 1) = - 7 + 18 + 8$

Schritt 3.1.2.2.2

Addiere $- 7$ und $18$ .

$f (- 1) = 11 + 8$

Schritt 3.1.2.2.3

Addiere $11$ und $8$ .

$f (- 1) = 19$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $19$ .

$19$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 1$ in $f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ ermittelt werden kann, ist $(- 1, 19)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 1, 19)$

Schritt 3.3

Ersetze $- 3$ in $f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = {(- 3)}^{4} + 8 {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2} + 8$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$f (- 3) = 81 + 8 {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2} + 8$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f (- 3) = 81 + 8 \cdot - 27 + 18 {(- 3)}^{2} + 8$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 27$ .

$f (- 3) = 81 - 216 + 18 {(- 3)}^{2} + 8$

Schritt 3.3.2.1.4

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- 3) = 81 - 216 + 18 \cdot 9 + 8$

Schritt 3.3.2.1.5

Mutltipliziere $18$ mit $9$ .

$f (- 3) = 81 - 216 + 162 + 8$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Subtrahiere $216$ von $81$ .

$f (- 3) = - 135 + 162 + 8$

Schritt 3.3.2.2.2

Addiere $- 135$ und $162$ .

$f (- 3) = 27 + 8$

Schritt 3.3.2.2.3

Addiere $27$ und $8$ .

$f (- 3) = 35$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $35$ .

$35$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 3$ in $f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ ermittelt werden kann, ist $(- 3, 35)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 3, 35)$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(- 1, 19), (- 3, 35)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 3)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = 12 {(- 3.1)}^{2} + 48 (- 3.1) + 36$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 3.1$ mit $2$ .

$f'' (- 3.1) = 12 \cdot 9.61 + 48 (- 3.1) + 36$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = 115.32 + 48 (- 3.1) + 36$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $48$ mit $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = 115.32 - 148.8 + 36$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $148.8$ von $115.32$ .

$f'' (- 3.1) = - 33.48 + 36$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 33.48$ und $36$ .

$f'' (- 3.1) = 2.52$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.52$ .

$2.52$

Schritt 5.3

Bei $- 3.1$ ist die zweite Ableitung $2.52$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - 3)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 3)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 3, - 1)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} + 48 (- 2) + 36$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 + 48 (- 2) + 36$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$f'' (- 2) = 48 + 48 (- 2) + 36$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $48$ mit $- 2$ .

$f'' (- 2) = 48 - 96 + 36$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $96$ von $48$ .

$f'' (- 2) = - 48 + 36$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 48$ und $36$ .

$f'' (- 2) = - 12$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 12$ .

$- 12$

Schritt 6.3

Bei $- 2$ , die zweite Ableitung ist $- 12$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 3, - 1)$

Abfallend im Intervall $(- 3, - 1)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = 12 {(- 0.9)}^{2} + 48 (- 0.9) + 36$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 0.9$ mit $2$ .

$f'' (- 0.9) = 12 \cdot 0.81 + 48 (- 0.9) + 36$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0.81$ .

$f'' (- 0.9) = 9.72 + 48 (- 0.9) + 36$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $48$ mit $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = 9.72 - 43.2 + 36$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $43.2$ von $9.72$ .

$f'' (- 0.9) = - 33.48 + 36$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 33.48$ und $36$ .

$f'' (- 0.9) = 2.52$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.52$ .

$2.52$

Schritt 7.3

Bei $- 0.9$ ist die zweite Ableitung $2.52$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 1, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 1, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 3, 35), (- 1, 19)$ .

$(- 3, 35), (- 1, 19)$

Schritt 9