Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{5}{7}}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{7}$ .

$\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} - 1}$

Schritt 1.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}}$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}}$

Schritt 1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{7} x^{\frac{5 - 1 \cdot 7}{7}}$

Schritt 1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{5}{7} x^{\frac{5 - 7}{7}}$

Schritt 1.1.5.2

Subtrahiere $7$ von $5$ .

$\frac{5}{7} x^{\frac{- 2}{7}}$

Schritt 1.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{7} x^{- \frac{2}{7}}$

Schritt 1.1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.1.7.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}$

Schritt 1.1.7.2

Mutltipliziere $\frac{5}{7}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{5}{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}]$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}]$

Schritt 1.2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}$ als ${(x^{\frac{2}{7}})}^{- 1}$ um.

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{7}})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{7}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{7} \cdot - 1}]$

Schritt 1.2.2.2.2

Multipliziere $\frac{2}{7} \cdot - 1$ .

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Schritt 1.2.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{2}{7}$ und $- 1$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{7}}]$

Schritt 1.2.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{7}}]$

Schritt 1.2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{7}}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{2}{7}$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{2}{7} - 1})$

Schritt 1.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{2}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{2}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Schritt 1.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 7}{7}})$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{\frac{- 2 - 7}{7}})$

Schritt 1.2.7.2

Subtrahiere $7$ von $- 2$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{\frac{- 9}{7}})$

Schritt 1.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{9}{7}})$

Schritt 1.2.9

Kombiniere $x^{- \frac{9}{7}}$ und $\frac{2}{7}$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{x^{- \frac{9}{7}} \cdot 2}{7})$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $\frac{5}{7}$ mit $\frac{x^{- \frac{9}{7}} \cdot 2}{7}$ .

$- \frac{5 (x^{- \frac{9}{7}} \cdot 2)}{7 \cdot 7}$

Schritt 1.2.11

Multipliziere.

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Schritt 1.2.11.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$- \frac{10 x^{- \frac{9}{7}}}{7 \cdot 7}$

Schritt 1.2.11.2

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$- \frac{10 x^{- \frac{9}{7}}}{49}$

Schritt 1.2.11.3

Bringe $x^{- \frac{9}{7}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}}$ .

$- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$10 = 0$

Schritt 2.3

Da $10 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte