Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{5}{3}} + 3$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{5}{3}} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.2.5.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 0$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Addiere $\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}$ und $0$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.1.4.2

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{5}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.2.9

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.2.10

Multipliziere.

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Schritt 1.2.10.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.2.10.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{9}$

Schritt 1.2.10.3

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$10 = 0$

Schritt 2.3

Da $10 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte