Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2} - 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.7

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 1) - (- x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 1) - (- x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 1) - (- x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.2.7

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 1) (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (2 x))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.4.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 1) (2 \cdot ((x^{2} - 1) x))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.4.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) ((x^{2} - 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} - 1)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.2

Schreibe ${(x^{2} - 1)}^{2}$ als $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ um.

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.3

Multipliziere $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.4.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.4.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.4.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.4.1.3

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.4.1.4

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.4.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (- 2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} + 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.6.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} + 4 x^{2} - 2) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x + 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.8.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.8.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.8.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.8.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.8.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} + 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.8.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.8.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.8.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.8.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.8.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.8.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{1 + 2} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.8.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.9

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.9.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} + 4) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.10

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.10.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.10.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.10.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} + 4) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.10.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} + 4) (x^{2 + 1} - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.10.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} + 4) (x^{3} - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.10.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} + 4) (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.11

Multipliziere $(4 x^{2} + 4) (x^{3} - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} (x^{3} - x) + 4 (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- x) + 4 (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- x) + 4 x^{3} + 4 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.12.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (- x) + 4 x^{3} + 4 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (- x) + 4 x^{3} + 4 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.1.3

Addiere $3$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (- x) + 4 x^{3} + 4 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 1 x^{2} x) + 4 x^{3} + 4 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.3.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 4 x^{3} + 4 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 4 x^{3} + 4 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 1 x^{1 + 2}) + 4 x^{3} + 4 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 1 x^{3}) + 4 x^{3} + 4 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} - 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} - 4 x^{3} + 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.2

Addiere $- 4 x^{3}$ und $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 0 - 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.3

Addiere $4 x^{5}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} - 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.2

Addiere $- 2 x^{5}$ und $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x - 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.3

Subtrahiere $4 x$ von $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} + 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.4.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{5} + 4 x^{3} - 6 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.4.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{5}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (2 x^{2}) - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $- 6 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.1.4

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{4}) + 2 x (2 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} + 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.1.5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{4} + 2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} + 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} + 2 u - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.4

Faktorisiere $u^{2} + 2 u - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.4.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $2$ ist.

$- 1, 3$

Schritt 1.2.5.4.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 1) (u + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((x^{2} - 1) (x^{2} + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{2 x ((x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.5

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1^{2})}^{4}}$

Schritt 1.2.5.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{((x + 1) (x - 1))}^{4}}$

Schritt 1.2.5.5.3

Wende die Produktregel auf $(x + 1) (x - 1)$ an.

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 1$ und ${(x + 1)}^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.6.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $2 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((2 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.6.2.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((2 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Schritt 1.2.5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((2 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Schritt 1.2.5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(2 x (x - 1)) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 1$ und ${(x - 1)}^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.7.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $(2 x (x - 1)) (x^{2} + 3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((2 x) (x^{2} + 3))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.7.2.1

Faktorisiere $x - 1$ aus ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((2 x) (x^{2} + 3))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Schritt 1.2.5.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((2 x) (x^{2} + 3))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Schritt 1.2.5.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(2 x) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x (x^{2} + 3) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.3.3

Setze $x^{2} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Setze $x^{2} + 3$ gleich $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Löse $x^{2} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 3$

Schritt 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Schritt 2.3.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.3.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Schritt 2.3.3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Schritt 2.3.3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{3}$

Schritt 2.3.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 2.3.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 2.3.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (x^{2} + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze $0$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} - 1}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} - 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 1}$

Schritt 3.1.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} - 1}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{2 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} + 3)}{{((- 0.1) + 1)}^{3} {((- 0.1) - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.2 ({(- 0.1)}^{2} + 3)}{{(- 0.1 + 1)}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 0.2$ mit ${(- 0.1)}^{2} + 3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.602}{{(- 0.1 + 1)}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 0.1$ und $1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.602}{{0.9}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.602}{{0.9}^{3} {(- 1.1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $0.9$ mit $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.602}{0.729 {(- 1.1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.4

Potenziere $- 1.1$ mit $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.602}{0.729 \cdot - 1.331}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $0.729$ mit $- 1.331$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.602}{- 0.970299}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $- 0.602$ durch $- 0.970299$ .

$f'' (- 0.1) = 0.62042731$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.62042731$ .

$0.62042731$

Schritt 5.3

Bei $- 0.1$ ist die zweite Ableitung $0.62042731$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{2 (0.1) ({(0.1)}^{2} + 3)}{{((0.1) + 1)}^{3} {((0.1) - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.2 ({0.1}^{2} + 3)}{{(0.1 + 1)}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $0.2$ mit ${0.1}^{2} + 3$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.602}{{(0.1 + 1)}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Addiere $0.1$ und $1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.602}{{1.1}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.602}{{1.1}^{3} {(- 0.9)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $1.1$ mit $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.602}{1.331 {(- 0.9)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.4

Potenziere $- 0.9$ mit $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.602}{1.331 \cdot - 0.729}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $1.331$ mit $- 0.729$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.602}{- 0.970299}$

Schritt 6.2.3.2

Dividiere $0.602$ durch $- 0.970299$ .

$f'' (0.1) = - 0.62042731$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.62042731$ .

$- 0.62042731$

Schritt 6.3

Bei $0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.62042731$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, \infty)$

Abfallend im Intervall $(0, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Schritt 8