Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 10$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (10)$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (10)$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 + \frac{d}{d x} (10)$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.5.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 + 0$

Schritt 1.1.5.2

Addiere $6 x^{2} - 6 x - 12$ und $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} - 6 x - 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 12)$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.2.4.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 + 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $12 x - 6$ und $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 6$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x - 6$ .

$12 x - 6$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x - 6 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$12 x - 6 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 x = 6$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 6$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 6$ durch $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{6}{12}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x}{12} = \frac{6}{12}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{6}{12}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $12$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{6 (1)}{12}$

Schritt 2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $\frac{1}{2}$ in $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 10$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1^{3}}{2^{3}}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

Schritt 3.1.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2^{3}}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

Schritt 3.1.2.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{8}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

Schritt 3.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2 (4)}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

Schritt 3.1.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2 \cdot 4}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

Schritt 3.1.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

Schritt 3.1.2.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

Schritt 3.1.2.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{1}{2^{2}} - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

Schritt 3.1.2.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{4}) - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

Schritt 3.1.2.1.8

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{- 3}{4} - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

Schritt 3.1.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2}) + 10$

Schritt 3.1.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.10.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + 2 (- 6) (\frac{1}{2}) + 10$

Schritt 3.1.2.1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + 2 \cdot (- 6 (\frac{1}{2})) + 10$

Schritt 3.1.2.1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - 6 + 10$

Schritt 3.1.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.1.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{2}) = - 6 + 10 + \frac{1 - 3}{4}$

Schritt 3.1.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 6 + 10 + \frac{- 2}{4}$

Schritt 3.1.2.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.1.2.3.1

Schreibe $- 6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 6}{1} + 10 + \frac{- 2}{4}$

Schritt 3.1.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 10 + \frac{- 2}{4}$

Schritt 3.1.2.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 6 \cdot 4}{4} + 10 + \frac{- 2}{4}$

Schritt 3.1.2.3.4

Schreibe $10$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{10}{1} + \frac{- 2}{4}$

Schritt 3.1.2.3.5

Mutltipliziere $\frac{10}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{10}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 2}{4}$

Schritt 3.1.2.3.6

Mutltipliziere $\frac{10}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{4}$

Schritt 3.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 6 \cdot 4 + 10 \cdot 4 - 2}{4}$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 24 + 10 \cdot 4 - 2}{4}$

Schritt 3.1.2.5.2

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 24 + 40 - 2}{4}$

Schritt 3.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.6.1

Addiere $- 24$ und $40$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{16 - 2}{4}$

Schritt 3.1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $16$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{14}{4}$

Schritt 3.1.2.6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $4$ .

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Schritt 3.1.2.6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (7)}{4}$

Schritt 3.1.2.6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{7}{2}$

Schritt 3.1.2.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{2}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ in $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 10$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{1}{2})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.4$ .

$f'' (0.4) = 12 (0.4) - 6$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $0.4$ .

$f'' (0.4) = 4.8 - 6$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $6$ von $4.8$ .

$f'' (0.4) = - 1.2$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1.2$ .

$- 1.2$

Schritt 5.3

Bei $0.4$ , die zweite Ableitung ist $- 1.2$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, \frac{1}{2})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{1}{2})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{1}{2}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.6$ .

$f'' (0.6) = 12 (0.6) - 6$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $0.6$ .

$f'' (0.6) = 7.2 - 6$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $6$ von $7.2$ .

$f'' (0.6) = 1.2$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.2$ .

$1.2$

Schritt 6.3

Bei $0.6$ ist die zweite Ableitung $1.2$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{1}{2}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{1}{2}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$

Schritt 8