Analysis Beispiele

$f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 x^{4} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$20 x^{3} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 24$ .

$20 x^{3} - 48 x + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.2.4.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$20 x^{3} - 48 x + 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $20 x^{3} - 48 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 48 x$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $20 x^{3} - 48 x$ .

$20 x^{3} - 48 x$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $20 x^{3} - 48 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$20 x^{3} - 48 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $4 x$ aus $20 x^{3} - 48 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $20 x^{3}$ heraus.

$4 x (5 x^{2}) - 48 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 48 x$ heraus.

$4 x (5 x^{2}) + 4 x (- 12) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (5 x^{2}) + 4 x (- 12)$ heraus.

$4 x (5 x^{2} - 12) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$5 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $5 x^{2} - 12$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $5 x^{2} - 12$ gleich $0$ .

$5 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $5 x^{2} - 12 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} = 12$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2} = 12$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2} = 12$ durch $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{12}{5}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{12}{5}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{5}$

Schritt 2.5.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{12}{5}}$

Schritt 2.5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{12}{5}}$ .

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Schritt 2.5.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{12}{5}}$ als $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$

Schritt 2.5.2.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.4.2.1

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.5.2.4.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \pm \frac{\sqrt{4 (3)}}{\sqrt{5}}$

Schritt 2.5.2.4.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Schritt 2.5.2.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Schritt 2.5.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 2.5.2.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.2.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 2.5.2.4.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 2.5.2.4.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 2.5.2.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.5.2.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.5.2.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.5.2.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.2.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.2.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 2.5.2.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 2.5.2.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.4.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5 \cdot 3}}{5}$

Schritt 2.5.2.4.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Schritt 2.5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Schritt 2.5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Schritt 2.5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (5 x^{2} - 12) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0$ in $f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{3} + 16 (0)$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 8 {(0)}^{3} + 16 (0)$

Schritt 3.1.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 8 \cdot 0 + 16 (0)$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 16 (0)$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $16$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 3.1.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 3.3

Ersetze $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ in $f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{5} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ an.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{{(2 \sqrt{15})}^{5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{15}$ an.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{2^{5} {\sqrt{15}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{32 {\sqrt{15}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Schreibe ${\sqrt{15}}^{5}$ als $\sqrt{15^{5}}$ um.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{32 \sqrt{15^{5}}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Potenziere $15$ mit $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{32 \sqrt{759375}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.2.4

Schreibe $759375$ als $225^{2} \cdot 15$ um.

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Schritt 3.3.2.1.2.4.1

Faktorisiere $50625$ aus $759375$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{32 \sqrt{50625 (15)}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.2.4.2

Schreibe $50625$ als $225^{2}$ um.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{32 \sqrt{225^{2} \cdot 15}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{32 \cdot (225 \sqrt{15})}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.2.6

Mutltipliziere $32$ mit $225$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{7200 \sqrt{15}}{5^{5}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.3

Potenziere $5$ mit $5$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{7200 \sqrt{15}}{3125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $7200$ und $3125$ .

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Schritt 3.3.2.1.4.1

Faktorisiere $25$ aus $7200 \sqrt{15}$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{25 (288 \sqrt{15})}{3125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1.4.2.1

Faktorisiere $25$ aus $3125$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{25 (288 \sqrt{15})}{25 (125)} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{25 (288 \sqrt{15})}{25 \cdot 125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.3.2.1.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ an.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{{(2 \sqrt{15})}^{3}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.5.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{15}$ an.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{2^{3} {\sqrt{15}}^{3}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.1.6.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{8 {\sqrt{15}}^{3}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.6.2

Schreibe ${\sqrt{15}}^{3}$ als $\sqrt{15^{3}}$ um.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{15^{3}}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.6.3

Potenziere $15$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{3375}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.6.4

Schreibe $3375$ als $15^{2} \cdot 15$ um.

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Schritt 3.3.2.1.6.4.1

Faktorisiere $225$ aus $3375$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{225 (15)}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.6.4.2

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{8 \sqrt{15^{2} \cdot 15}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.6.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{8 \cdot (15 \sqrt{15})}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.6.6

Mutltipliziere $8$ mit $15$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{120 \sqrt{15}}{5^{3}} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.7

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{120 \sqrt{15}}{125} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $120$ und $125$ .

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Schritt 3.3.2.1.8.1

Faktorisiere $5$ aus $120 \sqrt{15}$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{5 (24 \sqrt{15})}{125} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.8.2.1

Faktorisiere $5$ aus $125$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{5 (24 \sqrt{15})}{5 (25)} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{5 (24 \sqrt{15})}{5 \cdot 25} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 \frac{24 \sqrt{15}}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.9

Multipliziere $- 8 \frac{24 \sqrt{15}}{25}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.9.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{24 \sqrt{15}}{25}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{- 8 (24 \sqrt{15})}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.9.2

Mutltipliziere $24$ mit $- 8$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{- 192 \sqrt{15}}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - \frac{192 \sqrt{15}}{25} + 16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.3.2.1.11

Multipliziere $16 (\frac{2 \sqrt{15}}{5})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.11.1

Kombiniere $16$ und $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - \frac{192 \sqrt{15}}{25} + \frac{16 (2 \sqrt{15})}{5}$

Schritt 3.3.2.1.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - \frac{192 \sqrt{15}}{25} + \frac{32 \sqrt{15}}{5}$

Schritt 3.3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{192 \sqrt{15}}{25}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - (\frac{192 \sqrt{15}}{25} \cdot \frac{5}{5}) + \frac{32 \sqrt{15}}{5}$

Schritt 3.3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{192 \sqrt{15}}{25}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{32 \sqrt{15}}{5}$

Schritt 3.3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{32 \sqrt{15}}{5}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{32 \sqrt{15}}{5} \cdot \frac{25}{25}$

Schritt 3.3.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{32 \sqrt{15}}{5}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{32 \sqrt{15} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Schritt 3.3.2.2.5

Stelle die Faktoren von $25 \cdot 5$ um.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{5 \cdot 25} + \frac{32 \sqrt{15} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Schritt 3.3.2.2.6

Mutltipliziere $5$ mit $25$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{125} + \frac{32 \sqrt{15} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Schritt 3.3.2.2.7

Mutltipliziere $5$ mit $25$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15}}{125} - \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{125} + \frac{32 \sqrt{15} \cdot 25}{125}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15} - 192 \sqrt{15} \cdot 5 + 32 \sqrt{15} \cdot 25}{125}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 192$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15} - 960 \sqrt{15} + 32 \sqrt{15} \cdot 25}{125}$

Schritt 3.3.2.4.2

Mutltipliziere $25$ mit $32$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{288 \sqrt{15} - 960 \sqrt{15} + 800 \sqrt{15}}{125}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.3.2.5.1

Subtrahiere $960 \sqrt{15}$ von $288 \sqrt{15}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 672 \sqrt{15} + 800 \sqrt{15}}{125}$

Schritt 3.3.2.5.2

Addiere $- 672 \sqrt{15}$ und $800 \sqrt{15}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{128 \sqrt{15}}{125}$

Schritt 3.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{128 \sqrt{15}}{125}$ .

$\frac{128 \sqrt{15}}{125}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ in $f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{128 \sqrt{15}}{125})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{128 \sqrt{15}}{125})$

Schritt 3.5

Ersetze $- \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ in $f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{5} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = {(- 1)}^{5} {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{5} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = {(- 1)}^{5} (\frac{{(2 \sqrt{15})}^{5}}{5^{5}}) - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{15}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = {(- 1)}^{5} (\frac{2^{5} {\sqrt{15}}^{5}}{5^{5}}) - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{2^{5} {\sqrt{15}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.2.1.3.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{32 {\sqrt{15}}^{5}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.3.2

Schreibe ${\sqrt{15}}^{5}$ als $\sqrt{15^{5}}$ um.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{15^{5}}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.3.3

Potenziere $15$ mit $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{759375}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.3.4

Schreibe $759375$ als $225^{2} \cdot 15$ um.

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Schritt 3.5.2.1.3.4.1

Faktorisiere $50625$ aus $759375$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{50625 (15)}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.3.4.2

Schreibe $50625$ als $225^{2}$ um.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{32 \sqrt{225^{2} \cdot 15}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{32 \cdot (225 \sqrt{15})}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.3.6

Mutltipliziere $32$ mit $225$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{7200 \sqrt{15}}{5^{5}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.4

Potenziere $5$ mit $5$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{7200 \sqrt{15}}{3125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $7200$ und $3125$ .

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Schritt 3.5.2.1.5.1

Faktorisiere $25$ aus $7200 \sqrt{15}$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{25 (288 \sqrt{15})}{3125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.1.5.2.1

Faktorisiere $25$ aus $3125$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{25 (288 \sqrt{15})}{25 (125)} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{25 (288 \sqrt{15})}{25 \cdot 125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.5.2.1.6.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2 \sqrt{15}}{5})}^{3}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(2 \sqrt{15})}^{3}}{5^{3}})) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.6.3

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{15}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3} {\sqrt{15}}^{3}}{5^{3}})) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.7

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{2^{3} {\sqrt{15}}^{3}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.2.1.8.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{8 {\sqrt{15}}^{3}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.8.2

Schreibe ${\sqrt{15}}^{3}$ als $\sqrt{15^{3}}$ um.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{15^{3}}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.8.3

Potenziere $15$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{3375}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.8.4

Schreibe $3375$ als $15^{2} \cdot 15$ um.

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Schritt 3.5.2.1.8.4.1

Faktorisiere $225$ aus $3375$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{225 (15)}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.8.4.2

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{8 \sqrt{15^{2} \cdot 15}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.8.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{8 \cdot (15 \sqrt{15})}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.8.6

Mutltipliziere $8$ mit $15$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{120 \sqrt{15}}{5^{3}}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.9

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{120 \sqrt{15}}{125}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $120$ und $125$ .

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Schritt 3.5.2.1.10.1

Faktorisiere $5$ aus $120 \sqrt{15}$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{5 (24 \sqrt{15})}{125}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.1.10.2.1

Faktorisiere $5$ aus $125$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{5 (24 \sqrt{15})}{5 (25)}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{5 (24 \sqrt{15})}{5 \cdot 25}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} - 8 (- \frac{24 \sqrt{15}}{25}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.11

Multipliziere $- 8 (- \frac{24 \sqrt{15}}{25})$ .

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Schritt 3.5.2.1.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + 8 (\frac{24 \sqrt{15}}{25}) + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.11.2

Kombiniere $8$ und $\frac{24 \sqrt{15}}{25}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{8 (24 \sqrt{15})}{25} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.11.3

Mutltipliziere $24$ mit $8$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15}}{25} + 16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Schritt 3.5.2.1.12

Multipliziere $16 (- \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ .

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Schritt 3.5.2.1.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15}}{25} - 16 \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Schritt 3.5.2.1.12.2

Kombiniere $- 16$ und $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15}}{25} + \frac{- 16 (2 \sqrt{15})}{5}$

Schritt 3.5.2.1.12.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15}}{25} + \frac{- 32 \sqrt{15}}{5}$

Schritt 3.5.2.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15}}{25} - \frac{32 \sqrt{15}}{5}$

Schritt 3.5.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.5.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{192 \sqrt{15}}{25}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15}}{25} \cdot \frac{5}{5} - \frac{32 \sqrt{15}}{5}$

Schritt 3.5.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{192 \sqrt{15}}{25}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{25 \cdot 5} - \frac{32 \sqrt{15}}{5}$

Schritt 3.5.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{32 \sqrt{15}}{5}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{25 \cdot 5} - (\frac{32 \sqrt{15}}{5} \cdot \frac{25}{25})$

Schritt 3.5.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{32 \sqrt{15}}{5}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{25 \cdot 5} - \frac{32 \sqrt{15} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Schritt 3.5.2.2.5

Stelle die Faktoren von $25 \cdot 5$ um.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{5 \cdot 25} - \frac{32 \sqrt{15} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Schritt 3.5.2.2.6

Mutltipliziere $5$ mit $25$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{125} - \frac{32 \sqrt{15} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Schritt 3.5.2.2.7

Mutltipliziere $5$ mit $25$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{288 \sqrt{15}}{125} + \frac{192 \sqrt{15} \cdot 5}{125} - \frac{32 \sqrt{15} \cdot 25}{125}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 288 \sqrt{15} + 192 \sqrt{15} \cdot 5 - 32 \sqrt{15} \cdot 25}{125}$

Schritt 3.5.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $192$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 288 \sqrt{15} + 960 \sqrt{15} - 32 \sqrt{15} \cdot 25}{125}$

Schritt 3.5.2.4.2

Mutltipliziere $25$ mit $- 32$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 288 \sqrt{15} + 960 \sqrt{15} - 800 \sqrt{15}}{125}$

Schritt 3.5.2.5

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.5.1

Addiere $- 288 \sqrt{15}$ und $960 \sqrt{15}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{672 \sqrt{15} - 800 \sqrt{15}}{125}$

Schritt 3.5.2.5.2

Subtrahiere $800 \sqrt{15}$ von $672 \sqrt{15}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = \frac{- 128 \sqrt{15}}{125}$

Schritt 3.5.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}) = - \frac{128 \sqrt{15}}{125}$

Schritt 3.5.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{128 \sqrt{15}}{125}$ .

$- \frac{128 \sqrt{15}}{125}$

Schritt 3.6

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ in $f (x) = x^{5} - 8 x^{3} + 16 x$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{128 \sqrt{15}}{125})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{128 \sqrt{15}}{125})$

Schritt 3.7

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{128 \sqrt{15}}{125}), (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{128 \sqrt{15}}{125})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}) \cup (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0) \cup (0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}) \cup (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.64919333$ .

$f'' (- 1.64919333) = 20 {(- 1.64919333)}^{3} - 48 \cdot - 1.64919333$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1.64919333$ mit $3$ .

$f'' (- 1.64919333) = 20 \cdot - 4.48553981 - 48 \cdot - 1.64919333$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 4.48553981$ .

$f'' (- 1.64919333) = - 89.71079625 - 48 \cdot - 1.64919333$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $- 1.64919333$ .

$f'' (- 1.64919333) = - 89.71079625 + 79.16128024$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 89.71079625$ und $79.16128024$ .

$f'' (- 1.64919333) = - 10.549516$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 10.549516$ .

$- 10.549516$

Schritt 5.3

Bei $- 1.64919333$ , die zweite Ableitung ist $- 10.549516$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.77459666$ .

$f'' (- 0.77459666) = 20 {(- 0.77459666)}^{3} - 48 \cdot - 0.77459666$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 0.77459666$ mit $3$ .

$f'' (- 0.77459666) = 20 \cdot - 0.464758 - 48 \cdot - 0.77459666$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 0.464758$ .

$f'' (- 0.77459666) = - 9.29516003 - 48 \cdot - 0.77459666$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $- 0.77459666$ .

$f'' (- 0.77459666) = - 9.29516003 + 37.18064012$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 9.29516003$ und $37.18064012$ .

$f'' (- 0.77459666) = 27.88548009$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $27.88548009$ .

$27.88548009$

Schritt 6.3

Bei $- 0.77459666$ ist die zweite Ableitung $27.88548009$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.77459666$ .

$f'' (0.77459666) = 20 {(0.77459666)}^{3} - 48 \cdot 0.77459666$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $0.77459666$ mit $3$ .

$f'' (0.77459666) = 20 \cdot 0.464758 - 48 \cdot 0.77459666$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $0.464758$ .

$f'' (0.77459666) = 9.29516003 - 48 \cdot 0.77459666$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $0.77459666$ .

$f'' (0.77459666) = 9.29516003 - 37.18064012$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $37.18064012$ von $9.29516003$ .

$f'' (0.77459666) = - 27.88548009$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 27.88548009$ .

$- 27.88548009$

Schritt 7.3

Bei $0.77459666$ , die zweite Ableitung ist $- 27.88548009$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Abfallend im Intervall $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.64919333$ .

$f'' (1.64919333) = 20 {(1.64919333)}^{3} - 48 \cdot 1.64919333$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $1.64919333$ mit $3$ .

$f'' (1.64919333) = 20 \cdot 4.48553981 - 48 \cdot 1.64919333$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $4.48553981$ .

$f'' (1.64919333) = 89.71079625 - 48 \cdot 1.64919333$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $1.64919333$ .

$f'' (1.64919333) = 89.71079625 - 79.16128024$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $79.16128024$ von $89.71079625$ .

$f'' (1.64919333) = 10.549516$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $10.549516$ .

$10.549516$

Schritt 8.3

Bei $1.64919333$ ist die zweite Ableitung $10.549516$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{128 \sqrt{15}}{125}), (0, 0), (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{128 \sqrt{15}}{125})$ .

$(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{128 \sqrt{15}}{125}), (0, 0), (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \frac{128 \sqrt{15}}{125})$

Schritt 10