Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 32 x^{2} + 7$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 32 x^{2} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 32 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 32 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 32 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 (2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 32$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 64 x + \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 64 x + 0$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $4 x^{3} - 64 x$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 64 x$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 64 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 64 x$ nach $x$ gleich $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 64 \frac{d}{d x} x$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 64 \cdot 1$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $- 64$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 64$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} - 64$ .

$12 x^{2} - 64$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} - 64 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} - 64 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $64$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 x^{2} = 64$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $12 x^{2} = 64$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x^{2} = 64$ durch $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{64}{12}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{64}{12}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{64}{12}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $12$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$x^{2} = \frac{4 (16)}{12}$

Schritt 2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 16}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 16}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = \frac{16}{3}$

Schritt 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{16}{3}}$

Schritt 2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{16}{3}}$ .

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Schritt 2.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{16}{3}}$ als $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 2.5.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 2.5.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 2.5.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.5.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.5.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.5.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.5.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.5.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = x^{4} - 32 x^{2} + 7$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{4} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ an.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(4 \sqrt{3})}^{4}}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $4 \sqrt{3}$ an.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.1.2.1

Potenziere $4$ mit $4$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 {\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{4}$ als $3^{2}$ um.

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Schritt 3.1.2.1.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.2.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1.2.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.2.2.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{2}}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 9}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.3

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 9}{81} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $256$ mit $9$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2304}{81} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2304$ und $81$ .

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Schritt 3.1.2.1.5.1

Faktorisiere $9$ aus $2304$ heraus.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (256)}{81} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1.5.2.1

Faktorisiere $9$ aus $81$ heraus.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 256}{9 \cdot 9} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 256}{9 \cdot 9} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.1.2.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.2.1.6.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ an.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{{(4 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} + 7$

Schritt 3.1.2.1.6.2

Wende die Produktregel auf $4 \sqrt{3}$ an.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 7$

Schritt 3.1.2.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.1.7.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 7$

Schritt 3.1.2.1.7.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.2.1.7.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7$

Schritt 3.1.2.1.7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7$

Schritt 3.1.2.1.7.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7$

Schritt 3.1.2.1.7.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.7.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7$

Schritt 3.1.2.1.7.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3}{3^{2}} + 7$

Schritt 3.1.2.1.7.2.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3}{3^{2}} + 7$

Schritt 3.1.2.1.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3}{9} + 7$

Schritt 3.1.2.1.9

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 (\frac{48}{9}) + 7$

Schritt 3.1.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $9$ .

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Schritt 3.1.2.1.10.1

Faktorisiere $3$ aus $48$ heraus.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{3 (16)}{9} + 7$

Schritt 3.1.2.1.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 3} + 7$

Schritt 3.1.2.1.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 3} + 7$

Schritt 3.1.2.1.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 (\frac{16}{3}) + 7$

Schritt 3.1.2.1.11

Multipliziere $- 32 (\frac{16}{3})$ .

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Schritt 3.1.2.1.11.1

Kombiniere $- 32$ und $\frac{16}{3}$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} + \frac{- 32 \cdot 16}{3} + 7$

Schritt 3.1.2.1.11.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $16$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} + \frac{- 512}{3} + 7$

Schritt 3.1.2.1.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512}{3} + 7$

Schritt 3.1.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{512}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - (\frac{512}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 7$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{512}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 7$

Schritt 3.1.2.2.3

Schreibe $7$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{7}{1}$

Schritt 3.1.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{7}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{7}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 3.1.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{7}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{7 \cdot 9}{9}$

Schritt 3.1.2.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512 \cdot 3}{9} + \frac{7 \cdot 9}{9}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 - 512 \cdot 3 + 7 \cdot 9}{9}$

Schritt 3.1.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 512$ mit $3$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 - 1536 + 7 \cdot 9}{9}$

Schritt 3.1.2.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $9$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 - 1536 + 63}{9}$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.5.1

Subtrahiere $1536$ von $256$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 1280 + 63}{9}$

Schritt 3.1.2.5.2

Addiere $- 1280$ und $63$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 1217}{9}$

Schritt 3.1.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{1217}{9}$

Schritt 3.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1217}{9}$ .

$- \frac{1217}{9}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = x^{4} - 32 x^{2} + 7$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1217}{9})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1217}{9})$

Schritt 3.3

Ersetze $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = x^{4} - 32 x^{2} + 7$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{4} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ an.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{4} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ an.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{(4 \sqrt{3})}^{4}}{3^{4}}) - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $4 \sqrt{3}$ an.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} (\frac{4^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = 1 (\frac{4^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{4^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.4.1

Potenziere $4$ mit $4$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 {\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.4.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{4}$ als $3^{2}$ um.

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Schritt 3.3.2.1.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.4.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.4.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1.4.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.4.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.4.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.4.2.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{2}}{3^{4}} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.4.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 9}{3^{4}} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.5

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 9}{81} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.6

Mutltipliziere $256$ mit $9$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2304}{81} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2304$ und $81$ .

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Schritt 3.3.2.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $2304$ heraus.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (256)}{81} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1.7.2.1

Faktorisiere $9$ aus $81$ heraus.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 256}{9 \cdot 9} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 256}{9 \cdot 9} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Schritt 3.3.2.1.8

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.3.2.1.8.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ an.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2}) + 7$

Schritt 3.3.2.1.8.2

Wende die Produktregel auf $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ an.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(4 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}})) + 7$

Schritt 3.3.2.1.8.3

Wende die Produktregel auf $4 \sqrt{3}$ an.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 7$

Schritt 3.3.2.1.9

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 (1 (\frac{4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 7$

Schritt 3.3.2.1.10

Mutltipliziere $\frac{4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 7$

Schritt 3.3.2.1.11

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.11.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 7$

Schritt 3.3.2.1.11.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.3.2.1.11.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7$

Schritt 3.3.2.1.11.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7$

Schritt 3.3.2.1.11.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7$

Schritt 3.3.2.1.11.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.11.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7$

Schritt 3.3.2.1.11.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3}{3^{2}} + 7$

Schritt 3.3.2.1.11.2.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3}{3^{2}} + 7$

Schritt 3.3.2.1.12

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3}{9} + 7$

Schritt 3.3.2.1.13

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 (\frac{48}{9}) + 7$

Schritt 3.3.2.1.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $9$ .

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Schritt 3.3.2.1.14.1

Faktorisiere $3$ aus $48$ heraus.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{3 (16)}{9} + 7$

Schritt 3.3.2.1.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1.14.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 3} + 7$

Schritt 3.3.2.1.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 3} + 7$

Schritt 3.3.2.1.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 (\frac{16}{3}) + 7$

Schritt 3.3.2.1.15

Multipliziere $- 32 (\frac{16}{3})$ .

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Schritt 3.3.2.1.15.1

Kombiniere $- 32$ und $\frac{16}{3}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} + \frac{- 32 \cdot 16}{3} + 7$

Schritt 3.3.2.1.15.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $16$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} + \frac{- 512}{3} + 7$

Schritt 3.3.2.1.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512}{3} + 7$

Schritt 3.3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{512}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - (\frac{512}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 7$

Schritt 3.3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{512}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 7$

Schritt 3.3.2.2.3

Schreibe $7$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{7}{1}$

Schritt 3.3.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{7}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{7}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 3.3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{7}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{7 \cdot 9}{9}$

Schritt 3.3.2.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512 \cdot 3}{9} + \frac{7 \cdot 9}{9}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 - 512 \cdot 3 + 7 \cdot 9}{9}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.4.1

Mutltipliziere $- 512$ mit $3$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 - 1536 + 7 \cdot 9}{9}$

Schritt 3.3.2.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $9$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 - 1536 + 63}{9}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.5.1

Subtrahiere $1536$ von $256$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 1280 + 63}{9}$

Schritt 3.3.2.5.2

Addiere $- 1280$ und $63$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 1217}{9}$

Schritt 3.3.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{1217}{9}$

Schritt 3.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1217}{9}$ .

$- \frac{1217}{9}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = x^{4} - 32 x^{2} + 7$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1217}{9})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1217}{9})$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(\frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1217}{9}), (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1217}{9})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}, \frac{4 \sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{4 \sqrt{3}}{3}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{4 \sqrt{3}}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.40940107$ .

$f'' (- 2.40940107) = 12 {(- 2.40940107)}^{2} - 64$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2.40940107$ mit $2$ .

$f'' (- 2.40940107) = 12 \cdot 5.80521354 - 64$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $5.80521354$ .

$f'' (- 2.40940107) = 69.66256258 - 64$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $64$ von $69.66256258$ .

$f'' (- 2.40940107) = 5.66256258$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $5.66256258$ .

$5.66256258$

Schritt 5.3

Bei $- 2.40940107$ ist die zweite Ableitung $5.66256258$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - \frac{4 \sqrt{3}}{3})$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - \frac{4 \sqrt{3}}{3})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{4 \sqrt{3}}{3}, \frac{4 \sqrt{3}}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 64$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 64$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 - 64$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $64$ von $0$ .

$f'' (0) = - 64$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 64$ .

$- 64$

Schritt 6.3

Bei $0$ , die zweite Ableitung ist $- 64$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \frac{4 \sqrt{3}}{3}, \frac{4 \sqrt{3}}{3})$

Abfallend im Intervall $(- \frac{4 \sqrt{3}}{3}, \frac{4 \sqrt{3}}{3})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{4 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.40940107$ .

$f'' (2.40940107) = 12 {(2.40940107)}^{2} - 64$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $2.40940107$ mit $2$ .

$f'' (2.40940107) = 12 \cdot 5.80521354 - 64$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $5.80521354$ .

$f'' (2.40940107) = 69.66256258 - 64$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $64$ von $69.66256258$ .

$f'' (2.40940107) = 5.66256258$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $5.66256258$ .

$5.66256258$

Schritt 7.3

Bei $2.40940107$ ist die zweite Ableitung $5.66256258$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{4 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{4 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1217}{9}), (\frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1217}{9})$ .

$(- \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1217}{9}), (\frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1217}{9})$

Schritt 9