Analysis Beispiele

$f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 12)}^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 12)}^{2})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 12$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 12$ .

$f' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 12$ .

$f' (x) = 2 (2 (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = 4 ((x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Schritt 1.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12))$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12))$

Schritt 1.1.3.4

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x + 0)$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x)$

Schritt 1.1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (x) = 8 (x^{2} - 12) x$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = (8 x^{2} + 8 \cdot - 12) x$

Schritt 1.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 8 x^{2} x + 8 \cdot (- 12 x)$

Schritt 1.1.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.4.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 8 (x \cdot x^{2}) + 8 \cdot (- 12 x)$

Schritt 1.1.4.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 8 x^{1 + 2} + 8 \cdot (- 12 x)$

Schritt 1.1.4.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 \cdot (- 12 x)$

Schritt 1.1.4.3.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 12$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 96 x$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x^{3} - 96 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{3}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 96$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 96 x$ nach $x$ gleich $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96 \frac{d}{d x} x$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96 \cdot 1$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $- 96$ mit $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $24 x^{2} - 96$ .

$24 x^{2} - 96$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $24 x^{2} - 96 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$24 x^{2} - 96 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $96$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$24 x^{2} = 96$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $24 x^{2} = 96$ durch $24$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $24 x^{2} = 96$ durch $24$ .

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{96}{24}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $24$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{96}{24}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{96}{24}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $96$ durch $24$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 2.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $2$ in $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = 2 {({(2)}^{2} - 12)}^{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = 2 {(4 - 12)}^{2}$

Schritt 3.1.2.2

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$f (2) = 2 {(- 8)}^{2}$

Schritt 3.1.2.3

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$f (2) = 2 \cdot 64$

Schritt 3.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$f (2) = 128$

Schritt 3.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $128$ .

$128$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $2$ in $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(2, 128)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(2, 128)$

Schritt 3.3

Ersetze $- 2$ in $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = 2 {({(- 2)}^{2} - 12)}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = 2 {(4 - 12)}^{2}$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$f (- 2) = 2 {(- 8)}^{2}$

Schritt 3.3.2.3

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 64$

Schritt 3.3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$f (- 2) = 128$

Schritt 3.3.2.5

Die endgültige Lösung ist $128$ .

$128$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 2$ in $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(- 2, 128)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 2, 128)$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(2, 128), (- 2, 128)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 24 {(- 2.1)}^{2} - 96$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2.1$ mit $2$ .

$f'' (- 2.1) = 24 \cdot 4.41 - 96$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $24$ mit $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 105.84 - 96$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $96$ von $105.84$ .

$f'' (- 2.1) = 9.84$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $9.84$ .

$9.84$

Schritt 5.3

Bei $- 2.1$ ist die zweite Ableitung $9.84$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - 2)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = 24 {(0)}^{2} - 96$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 24 \cdot 0 - 96$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $24$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 - 96$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $96$ von $0$ .

$f'' (0) = - 96$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 96$ .

$- 96$

Schritt 6.3

Bei $0$ , die zweite Ableitung ist $- 96$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 2, 2)$

Abfallend im Intervall $(- 2, 2)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.1$ .

$f'' (2.1) = 24 {(2.1)}^{2} - 96$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $2.1$ mit $2$ .

$f'' (2.1) = 24 \cdot 4.41 - 96$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $24$ mit $4.41$ .

$f'' (2.1) = 105.84 - 96$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $96$ von $105.84$ .

$f'' (2.1) = 9.84$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $9.84$ .

$9.84$

Schritt 7.3

Bei $2.1$ ist die zweite Ableitung $9.84$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(2, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, 128), (2, 128)$ .

$(- 2, 128), (2, 128)$

Schritt 9