Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{8} x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{8} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.4

Kombiniere $\frac{4}{8}$ und $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{8} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 2.1.2.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{4 (x^{3})}{8} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{2} - 3 (2 x)$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{2} - 6 x$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{3}}{2} - 6 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{3}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 2.2.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 2.2.2.4

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 \cdot 1$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} - 6$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{3 x^{2}}{2} - 6$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{3 x^{2}}{2} - 6 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 x^{2}}{2} = 6$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Schritt 3.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2}$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Kombinieren.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Schritt 3.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Schritt 3.4.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Schritt 3.4.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Schritt 3.4.1.1.3.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot 6$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 (2))$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Schritt 3.4.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 2 \cdot 2$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 3.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 3.6

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 3.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 3.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 3.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 3.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 3.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $2$ in $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot {(2)}^{4} - 3 {(2)}^{2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 3 {(2)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.1.2.1.2.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot (8 (2)) - 3 {(2)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2) - 3 {(2)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2) = 2 - 3 {(2)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = 2 - 3 \cdot 4$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$f (2) = 2 - 12$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $12$ von $2$ .

$f (2) = - 10$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 10$ .

$- 10$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $2$ in $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(2, - 10)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(2, - 10)$

Schritt 4.3

Ersetze $- 2$ in $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot {(- 2)}^{4} - 3 {(- 2)}^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 3 {(- 2)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.3.2.1.2.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot (8 (2)) - 3 {(- 2)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2) - 3 {(- 2)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2) = 2 - 3 {(- 2)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = 2 - 3 \cdot 4$

Schritt 4.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$f (- 2) = 2 - 12$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $12$ von $2$ .

$f (- 2) = - 10$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 10$ .

$- 10$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 2$ in $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(- 2, - 10)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 2, - 10)$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(2, - 10), (- 2, - 10)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{3 {(- 2.1)}^{2}}{2} - 6$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 2.1$ mit $2$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{3 \cdot 4.41}{2} - 6$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{13.23}{2} - 6$

Schritt 6.2.1.3

Dividiere $13.23$ durch $2$ .

$f'' (- 2.1) = 6.615 - 6$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $6$ von $6.615$ .

$f'' (- 2.1) = 0.615$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.615$ .

$0.615$

Schritt 6.3

Bei $- 2.1$ ist die zweite Ableitung $0.615$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - 2)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 {(0)}^{2}}{2} - 6$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 0}{2} - 6$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f'' (0) = \frac{0}{2} - 6$

Schritt 7.2.1.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f'' (0) = 0 - 6$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$- 6$

Schritt 7.3

Bei $0$ , die zweite Ableitung ist $- 6$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 2, 2)$

Abfallend im Intervall $(- 2, 2)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.1$ .

$f'' (2.1) = \frac{3 {(2.1)}^{2}}{2} - 6$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $2.1$ mit $2$ .

$f'' (2.1) = \frac{3 \cdot 4.41}{2} - 6$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4.41$ .

$f'' (2.1) = \frac{13.23}{2} - 6$

Schritt 8.2.1.3

Dividiere $13.23$ durch $2$ .

$f'' (2.1) = 6.615 - 6$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $6$ von $6.615$ .

$f'' (2.1) = 0.615$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.615$ .

$0.615$

Schritt 8.3

Bei $2.1$ ist die zweite Ableitung $0.615$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(2, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 2, - 10), (2, - 10)$ .

$(- 2, - 10), (2, - 10)$

Schritt 10