Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 9}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 9}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 1$ und $g (x) = x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 9) x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.7

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.8.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 9) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 9 x) - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 9 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 9 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.3.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} x + 2 \cdot - 9 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x$ .

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Schritt 2.1.3.5.1.1

Subtrahiere $2 x^{2} x$ von $2 x^{2} x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 9 x) + 0 - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5.1.2

Addiere $2 \cdot - 9 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 9 x) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$f' (x) = \frac{- 18 x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{- 18 x - 2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5.3

Subtrahiere $2 x$ von $- 18 x$ .

$f' (x) = \frac{- 20 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{20 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.3.7.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f' (x) = - \frac{20 x}{{(x^{2} - 3^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$f' (x) = - \frac{20 x}{{((x + 3) (x - 3))}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7.3

Wende die Produktregel auf $(x + 3) (x - 3)$ an.

$f' (x) = - \frac{20 x}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Da $- 20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{20 x}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 20 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere ${(x + 3)}^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(x + 3)}^{2}$ und $g (x) = {(x - 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x ({(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 3$ .

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Schritt 2.2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x - 3$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x ({(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x ({(x + 3)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.5.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 3$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x ({(x + 3)}^{2} (2 (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Differenziere.

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Schritt 2.2.6.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x + 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 3)}^{2} (x - 3)) \frac{d}{d x} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) (1 + 0) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.6.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.6.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) \cdot 1 + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.6.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 3$ .

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Schritt 2.2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + 3$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 3$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} (2 (x + 3) \frac{d}{d x} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.8

Differenziere.

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Schritt 2.2.8.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x - 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 \cdot ({(x - 3)}^{2} (x + 3)) \frac{d}{d x} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.8.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} (3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.8.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) (1 + 0))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.8.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.8.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) \cdot 1)}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.8.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.8.5.3

Kombiniere $- 20$ und $\frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 20 ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.8.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{(20) ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9

Vereinfache.

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Schritt 2.2.9.1

Wende die Produktregel auf ${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}$ an.

$f'' (x) = - \frac{20 ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{20 ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3)) - x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{20 ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}) + 20 (- x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3))) + 20 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.9.4.1

Faktorisiere $20 (x + 3) (x - 3)$ aus $20 {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} + 20 (- x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3))) + 20 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))$ heraus.

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Schritt 2.2.9.4.1.1

Faktorisiere $20 (x + 3) (x - 3)$ aus $20 {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3)) + 20 (- x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3))) + 20 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.1.2

Faktorisiere $20 (x + 3) (x - 3)$ aus $20 (- x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3)))$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3)) + 20 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x + 3))) + 20 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.1.3

Faktorisiere $20 (x + 3) (x - 3)$ aus $20 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3)) + 20 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x + 3))) + 20 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x - 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.1.4

Faktorisiere $20 (x + 3) (x - 3)$ aus $20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3)) + 20 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x + 3)))$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - x (2 (x + 3))) + 20 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x - 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.1.5

Faktorisiere $20 (x + 3) (x - 3)$ aus $20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - x (2 (x + 3))) + 20 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x - 3)))$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - x (2 (x + 3)) - x (2 (x - 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.2.9.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - 2 x (x + 3) - x (2 (x - 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.9.4.3.1

Multipliziere $(x + 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.9.4.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x (x - 3) + 3 (x - 3) - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 2.2.9.4.3.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 3$ und $3 x$ neu an.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.3.2.2

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.3.2.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.9.4.3.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.3.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.9.4.3.5.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.3.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 3 - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.3.8

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.9.4.3.8.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.3.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.3.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x^{2} + 6 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x^{2} + 6 x$ .

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Schritt 2.2.9.4.4.1

Addiere $- 6 x$ und $6 x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.4.2

Addiere $x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.5

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 9 - 2 x^{2})}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.6

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (- 3 x^{2} - 9)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.7

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2} - 9$ heraus.

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Schritt 2.2.9.4.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (3 (- x^{2}) - 9)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.7.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (3 (- x^{2}) + 3 (- 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.7.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{2}) + 3 (- 3)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (3 (- x^{2} - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) \cdot (3 (- x^{2} - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.4.8

Mutltipliziere $3$ mit $20$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.5

Vereine die Terme

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Schritt 2.2.9.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.9.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{2 \cdot 2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{4} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 3)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.9.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.9.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 2.2.9.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 3$ und ${(x + 3)}^{4}$ .

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Schritt 2.2.9.5.3.1

Faktorisiere $x + 3$ aus $60 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x + 3) ((60 (x - 3)) (- x^{2} - 3))}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 2.2.9.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.9.5.3.2.1

Faktorisiere $x + 3$ aus ${(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x + 3) ((60 (x - 3)) (- x^{2} - 3))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Schritt 2.2.9.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{(x + 3) ((60 (x - 3)) (- x^{2} - 3))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Schritt 2.2.9.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{(60 (x - 3)) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 2.2.9.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 3$ und ${(x - 3)}^{4}$ .

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Schritt 2.2.9.5.4.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $60 (x - 3) (- x^{2} - 3)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x - 3) (60 (- x^{2} - 3))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 2.2.9.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.9.5.4.2.1

Faktorisiere $x - 3$ aus ${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x - 3) (60 (- x^{2} - 3))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Schritt 2.2.9.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{(x - 3) (60 (- x^{2} - 3))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Schritt 2.2.9.5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{60 (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Schritt 2.2.9.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{60 (- (x^{2}) - 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Schritt 2.2.9.7

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$f'' (x) = - \frac{60 (- (x^{2}) - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Schritt 2.2.9.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (3)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{60 (- (x^{2} + 3))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Schritt 2.2.9.9

Schreibe $- (x^{2} + 3)$ als $- 1 (x^{2} + 3)$ um.

$f'' (x) = - \frac{60 (- 1 (x^{2} + 3))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Schritt 2.2.9.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Schritt 2.2.9.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}})$

Schritt 2.2.9.12

Mutltipliziere $\frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ .

$\frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$60 (x^{2} + 3) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $60 (x^{2} + 3) = 0$ durch $60$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $60 (x^{2} + 3) = 0$ durch $60$ .

$\frac{60 (x^{2} + 3)}{60} = \frac{0}{60}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $60$ .

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Schritt 3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{60 (x^{2} + 3)}{60} = \frac{0}{60}$

Schritt 3.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{2} + 3$ durch $1$ .

$x^{2} + 3 = \frac{0}{60}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $60$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 3$

Schritt 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Schritt 3.3.4.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Schritt 3.3.4.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Schritt 3.3.4.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{3}$

Schritt 3.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 3.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 3.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 4

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte