Analysis Beispiele

$g (x) = x (x^{4} - 3)$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{4} - 3$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{4} - 3] + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (4 x^{3} + 0) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.2.4

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$x (4 x^{3}) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 (x^{1} x^{3}) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x^{1 + 3} + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $3$ .

$4 x^{4} + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{4} + (x^{4} - 3) \cdot 1$

Schritt 1.1.7

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.1.7.1

Mutltipliziere $x^{4} - 3$ mit $1$ .

$4 x^{4} + x^{4} - 3$

Schritt 1.1.7.2

Addiere $4 x^{4}$ und $x^{4}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 3$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$20 x^{3} + 0$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $20 x^{3}$ und $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $g (x)$ nach $x$ ist $20 x^{3}$ .

$20 x^{3}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $20 x^{3} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$20 x^{3} = 0$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $20 x^{3} = 0$ durch $20$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $20 x^{3} = 0$ durch $20$ .

$\frac{20 x^{3}}{20} = \frac{0}{20}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 x^{3}}{20} = \frac{0}{20}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{20}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $20$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 2.4

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 2.4.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 2.4.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0$ in $g (x) = x (x^{4} - 3)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$g (0) = (0) ({(0)}^{4} - 3)$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$g (0) = 0 (0 - 3)$

Schritt 3.1.2.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$g (0) = 0 \cdot - 3$

Schritt 3.1.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $- 3$ .

$g (0) = 0$

Schritt 3.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $g (x) = x (x^{4} - 3)$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$g'' (- 0.1) = 20 {(- 0.1)}^{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $- 0.1$ mit $3$ .

$g'' (- 0.1) = 20 \cdot - 0.001$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 0.001$ .

$g'' (- 0.1) = - 0.02$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.02$ .

$- 0.02$

Schritt 5.3

Bei $- 0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.02$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, 0)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $g'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$g'' (0.1) = 20 {(0.1)}^{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Potenziere $0.1$ mit $3$ .

$g'' (0.1) = 20 \cdot 0.001$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $20$ mit $0.001$ .

$g'' (0.1) = 0.02$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.02$ .

$0.02$

Schritt 6.3

Bei $0.1$ ist die zweite Ableitung $0.02$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $g'' (x) > 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Schritt 8