Analysis Beispiele

$y = {(x - 2)}^{3} + 3$

Schritt 1

Schreibe $y = {(x - 2)}^{3} + 3$ als Funktion.

$f (x) = {(x - 2)}^{3} + 3$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(x - 2)}^{3} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x - 2$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 2) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 2) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 2$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.1.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.1.2.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.1.2.5

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.1.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} + 0$

Schritt 2.1.3.2

Addiere $3 {(x - 2)}^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 ((x - 2) (x - 2)))$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)))$

Schritt 2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)))$

Schritt 2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2))$

Schritt 2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2))$

Schritt 2.2.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2))$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4))$

Schritt 2.2.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 4 x + 4))$

Schritt 2.2.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 (x^{2} - 4 x + 4)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 4)$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 2.2.7

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 2.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 2.2.10

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 + 0)$

Schritt 2.2.11

Addiere $2 x - 4$ und $0$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4)$

Schritt 2.2.12

Vereinfache.

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Schritt 2.2.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 3 (2 x) + 3 \cdot - 4$

Schritt 2.2.12.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.2.12.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = 6 x + 3 \cdot - 4$

Schritt 2.2.12.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = 6 x - 12$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x - 12$ .

$6 x - 12$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x - 12 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$6 x - 12 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = 12$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 12$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 12$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{12}{6}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $12$ durch $6$ .

$x = 2$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $2$ in $f (x) = {(x - 2)}^{3} + 3$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = {((2) - 2)}^{3} + 3$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (2) = 0^{3} + 3$

Schritt 4.1.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (2) = 0 + 3$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $0$ und $3$ .

$f (2) = 3$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $2$ in $f (x) = {(x - 2)}^{3} + 3$ ermittelt werden kann, ist $(2, 3)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(2, 3)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.9$ .

$f'' (1.9) = 6 (1.9) - 12$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $1.9$ .

$f'' (1.9) = 11.4 - 12$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $12$ von $11.4$ .

$f'' (1.9) = - 0.6$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.6$ .

$- 0.6$

Schritt 6.3

Bei $1.9$ , die zweite Ableitung ist $- 0.6$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, 2)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, 2)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.1$ .

$f'' (2.1) = 6 (2.1) - 12$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $2.1$ .

$f'' (2.1) = 12.6 - 12$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $12$ von $12.6$ .

$f'' (2.1) = 0.6$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.6$ .

$0.6$

Schritt 7.3

Bei $2.1$ ist die zweite Ableitung $0.6$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(2, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(2, 3)$ .

$(2, 3)$

Schritt 9