Analysis Beispiele

$y = \frac{3}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{3}{x^{2} - 9}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{3}{x^{2} - 9}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{x^{2} - 9}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 9}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} - 9})$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2} - 9}$ als ${(x^{2} - 9)}^{- 1}$ um.

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 9)}^{- 1})$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = 3 (- {(x^{2} - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = - 3 ({(x^{2} - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Schritt 2.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))$

Schritt 2.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))$

Schritt 2.1.3.4

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x + 0)$

Schritt 2.1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.3.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x)$

Schritt 2.1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 9)}^{- 2} x$

Schritt 2.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 6 \frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{2}} \cdot x$

Schritt 2.1.5

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.5.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 6}{{(x^{2} - 9)}^{2}} \cdot x$

Schritt 2.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} - 9)}^{2}} \cdot x$

Schritt 2.1.5.3

Kombiniere $x$ und $\frac{6}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 6}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.1.5.4

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = - \frac{6 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{6 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} - 9)}^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Schritt 2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.2

Faktorisiere $x^{2} - 9$ aus ${(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ heraus.

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Schritt 2.2.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 9$ aus ${(x^{2} - 9)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.2.2

Faktorisiere $x^{2} - 9$ aus $- 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ heraus.

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.2.3

Faktorisiere $x^{2} - 9$ aus $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))$ heraus.

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 2.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $x^{2} - 9$ aus ${(x^{2} - 9)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 2.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 2.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 2.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 2.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 2.2.9

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 2.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 2.2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 2.2.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 2.2.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 2.2.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 2.2.14

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 2.2.15

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 2.2.16

Kombiniere $- 6$ und $\frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 2.2.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{(6) (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 2.2.18

Vereinfache.

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Schritt 2.2.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 2.2.18.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.18.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $6$ .

$f'' (x) = - \frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 2.2.18.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 9$ .

$f'' (x) = - \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$- 18 x^{2} - 54 = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Addiere $54$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 18 x^{2} = 54$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 18 x^{2} = 54$ durch $- 18$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 18 x^{2} = 54$ durch $- 18$ .

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{54}{- 18}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 18$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{54}{- 18}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{54}{- 18}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

Dividiere $54$ durch $- 18$ .

$x^{2} = - 3$

Schritt 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Schritt 3.3.4.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Schritt 3.3.4.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Schritt 3.3.4.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{3}$

Schritt 3.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 3.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 3.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 4

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte