Analysis Beispiele

$y = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{x}{x^{2} + 1}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2} + 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.7

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.2.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.2.7

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere.

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Schritt 2.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.2

Schreibe ${(x^{2} + 1)}^{2}$ als $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ um.

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.3

Multipliziere $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.4.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.4.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.4.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.4.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.4.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.4.2

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.6.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.8.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.8.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.8.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.8.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.8.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.8.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.9

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.9.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.10

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.10.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.10.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.10.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.10.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.10.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.10.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.11

Multipliziere $(4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} (x^{3} + x) - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.5.3.1.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.3.1.12.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.5.3.1.12.1.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.1.3

Addiere $3$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.5.3.1.12.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.5.3.1.12.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.2

Subtrahiere $4 x^{3}$ von $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 0 - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.1.12.3

Addiere $4 x^{5}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.2

Addiere $- 2 x^{5}$ und $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3.3

Subtrahiere $4 x$ von $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.4.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x$ heraus.

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Schritt 2.2.5.4.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{5}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $- 6 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.1.4

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.1.5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.4

Faktorisiere $u^{2} - 2 u - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.5.4.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 2.2.5.4.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.4.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2} + 1$ und ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

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Schritt 2.2.5.5.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.5.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus ${(x^{2} + 1)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x (x^{2} - 3) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 3.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.3.3

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 3.3.3.2

Löse $x^{2} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 3$

Schritt 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 3.3.3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.3.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 3.3.3.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 3.3.3.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 3.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (x^{2} - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 1}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 1}$

Schritt 4.1.2.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Schritt 4.1.2.2

Dividiere $0$ durch $1$ .

$f (0) = 0$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 4.3

Ersetze $\sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{{(\sqrt{3})}^{2} + 1}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.3.2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Schritt 4.3.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Schritt 4.3.2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Schritt 4.3.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Schritt 4.3.2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3 + 1}$

Schritt 4.3.2.1.1.5

Berechne den Exponenten.

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3 + 1}$

Schritt 4.3.2.1.2

Addiere $3$ und $1$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ermittelt werden kann, ist $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$

Schritt 4.5

Ersetze $- \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.5.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Schritt 4.5.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{1 {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Schritt 4.5.2.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{2}$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Schritt 4.5.2.1.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.5.2.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Schritt 4.5.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Schritt 4.5.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Schritt 4.5.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.2.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Schritt 4.5.2.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3 + 1}$

Schritt 4.5.2.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3 + 1}$

Schritt 4.5.2.1.5

Addiere $3$ und $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.6

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ermittelt werden kann, ist $(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4})$

Schritt 4.7

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4}), (- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \sqrt{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.8320508$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{2 (- 1.8320508) ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1.8320508$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 3.66410161 ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 3.66410161$ mit ${(- 1.8320508)}^{2} - 3$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 1.30592304}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 1.8320508$ mit $2$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 1.30592304}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $3.35641016$ und $1$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 1.30592304}{{4.35641016}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $4.35641016$ mit $3$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 1.30592304}{82.67730033}$

Schritt 6.2.3

Dividiere $- 1.30592304$ durch $82.67730033$ .

$f'' (- 1.8320508) = - 0.01579542$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.01579542$ .

$- 0.01579542$

Schritt 6.3

Bei $- 1.8320508$ , die zweite Ableitung ist $- 0.01579542$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - \sqrt{3})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \sqrt{3})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \sqrt{3}, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.8660254$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{2 (- 0.8660254) ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.8660254$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{- 1.7320508 ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 1.7320508$ mit ${(- 0.8660254)}^{2} - 3$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{3.89711431}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $- 0.8660254$ mit $2$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{3.89711431}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $0.75$ und $1$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{3.89711431}{{1.75}^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $1.75$ mit $3$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{3.89711431}{5.359375}$

Schritt 7.2.3

Dividiere $3.89711431$ durch $5.359375$ .

$f'' (- 0.8660254) = 0.72715835$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.72715835$ .

$0.72715835$

Schritt 7.3

Bei $- 0.8660254$ ist die zweite Ableitung $0.72715835$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \sqrt{3}, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \sqrt{3}, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \sqrt{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.8660254$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{2 (0.8660254) ({(0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.8660254$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{1.7320508 ({0.8660254}^{2} - 3)}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $1.7320508$ mit ${0.8660254}^{2} - 3$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{- 3.89711431}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Potenziere $0.8660254$ mit $2$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{- 3.89711431}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $0.75$ und $1$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{- 3.89711431}{{1.75}^{3}}$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $1.75$ mit $3$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{- 3.89711431}{5.359375}$

Schritt 8.2.3

Dividiere $- 3.89711431$ durch $5.359375$ .

$f'' (0.8660254) = - 0.72715835$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.72715835$ .

$- 0.72715835$

Schritt 8.3

Bei $0.8660254$ , die zweite Ableitung ist $- 0.72715835$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, \sqrt{3})$

Abfallend im Intervall $(0, \sqrt{3})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\sqrt{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.8320508$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{2 (1.8320508) ({(1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1.8320508$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{3.66410161 ({1.8320508}^{2} - 3)}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere $3.66410161$ mit ${1.8320508}^{2} - 3$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{1.30592304}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.2.1

Potenziere $1.8320508$ mit $2$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{1.30592304}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.2.2

Addiere $3.35641016$ und $1$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{1.30592304}{{4.35641016}^{3}}$

Schritt 9.2.2.3

Potenziere $4.35641016$ mit $3$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{1.30592304}{82.67730033}$

Schritt 9.2.3

Dividiere $1.30592304$ durch $82.67730033$ .

$f'' (1.8320508) = 0.01579542$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.01579542$ .

$0.01579542$

Schritt 9.3

Bei $1.8320508$ ist die zweite Ableitung $0.01579542$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\sqrt{3}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\sqrt{3}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4}), (0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ .

$(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4}), (0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$

Schritt 11