Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{2} + 6 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{2}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$24 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$24 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.2.4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$24 x + 6 + 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $24 x + 6$ und $0$ .

$f'' (x) = 24 x + 6$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $24 x + 6$ .

$24 x + 6$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $24 x + 6 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$24 x + 6 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$24 x = - 6$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $24 x = - 6$ durch $24$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $24 x = - 6$ durch $24$ .

$\frac{24 x}{24} = \frac{- 6}{24}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $24$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{24 x}{24} = \frac{- 6}{24}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 6}{24}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $24$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6$ heraus.

$x = \frac{6 (- 1)}{24}$

Schritt 2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 4}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 4}$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $- \frac{1}{4}$ in $f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 {(- \frac{1}{4})}^{3} + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{4}$ an.

$f (- \frac{1}{4}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{4})}^{3}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Schritt 3.1.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$f (- \frac{1}{4}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{4^{3}})) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Schritt 3.1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (- \frac{1^{3}}{4^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Schritt 3.1.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (- \frac{1}{4^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Schritt 3.1.2.1.4

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (- \frac{1}{64}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Schritt 3.1.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.1.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{64}$ in den Zähler.

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (\frac{- 1}{64}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Schritt 3.1.2.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (\frac{- 1}{4 (16)}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Schritt 3.1.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (\frac{- 1}{4 \cdot 16}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Schritt 3.1.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 1}{16} + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Schritt 3.1.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Schritt 3.1.2.1.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.2.1.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{4}$ an.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}) - 6 (- \frac{1}{4})$

Schritt 3.1.2.1.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{4^{2}})) - 6 (- \frac{1}{4})$

Schritt 3.1.2.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 (1 (\frac{1^{2}}{4^{2}})) - 6 (- \frac{1}{4})$

Schritt 3.1.2.1.9

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 (\frac{1^{2}}{4^{2}}) - 6 (- \frac{1}{4})$

Schritt 3.1.2.1.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 (\frac{1}{4^{2}}) - 6 (- \frac{1}{4})$

Schritt 3.1.2.1.11

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 (\frac{1}{16}) - 6 (- \frac{1}{4})$

Schritt 3.1.2.1.12

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{16}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} - 6 (- \frac{1}{4})$

Schritt 3.1.2.1.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.13.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} - 6 (\frac{- 1}{4})$

Schritt 3.1.2.1.13.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + 2 (- 3) (\frac{- 1}{4})$

Schritt 3.1.2.1.13.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + 2 \cdot (- 3 \frac{- 1}{2 \cdot 2})$

Schritt 3.1.2.1.13.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + 2 \cdot (- 3 \frac{- 1}{2 \cdot 2})$

Schritt 3.1.2.1.13.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} - 3 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 3.1.2.1.14

Kombiniere $- 3$ und $\frac{- 1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + \frac{- 3 \cdot - 1}{2}$

Schritt 3.1.2.1.15

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 1 + 3}{16} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.1.2.2.2

Addiere $- 1$ und $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{2}{16} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $16$ .

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Schritt 3.1.2.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{2 (1)}{16} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.1.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.1.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.1.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{8} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.1.2.3

Um $\frac{3}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.1.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{8} + \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{8} + \frac{3 \cdot 4}{8}$

Schritt 3.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1 + 3 \cdot 4}{8}$

Schritt 3.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1 + 12}{8}$

Schritt 3.1.2.6.2

Addiere $1$ und $12$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{13}{8}$

Schritt 3.1.2.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{13}{8}$ .

$\frac{13}{8}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{1}{4}$ in $f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{1}{4}, \frac{13}{8})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{1}{4}, \frac{13}{8})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \frac{1}{4}) \cup (- \frac{1}{4}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{1}{4})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.35$ .

$f'' (- 0.35) = 24 (- 0.35) + 6$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $24$ mit $- 0.35$ .

$f'' (- 0.35) = - 8.4 + 6$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 8.4$ und $6$ .

$f'' (- 0.35) = - 2.4$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2.4$ .

$- 2.4$

Schritt 5.3

Bei $- 0.35$ , die zweite Ableitung ist $- 2.4$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - \frac{1}{4})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \frac{1}{4})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{1}{4}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.15$ .

$f'' (- 0.15) = 24 (- 0.15) + 6$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $24$ mit $- 0.15$ .

$f'' (- 0.15) = - 3.6 + 6$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 3.6$ und $6$ .

$f'' (- 0.15) = 2.4$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.4$ .

$2.4$

Schritt 6.3

Bei $- 0.15$ ist die zweite Ableitung $2.4$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \frac{1}{4}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \frac{1}{4}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(- \frac{1}{4}, \frac{13}{8})$ .

$(- \frac{1}{4}, \frac{13}{8})$

Schritt 8