Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{3}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x^{2}$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (32)$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (32)$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.5.1

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $32$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x + 0$

Schritt 1.1.5.2

Addiere $12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$ und $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{3}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $48 x^{2}$ nach $x$ gleich $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $48$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} (48 x)$

Schritt 1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

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Schritt 1.2.4.1

Da $48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $48 x$ nach $x$ gleich $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48 \cdot 1$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $48$ mit $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $36 x^{2} + 96 x + 48$ .

$36 x^{2} + 96 x + 48$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $36 x^{2} + 96 x + 48 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$36 x^{2} + 96 x + 48 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $12$ aus $36 x^{2} + 96 x + 48$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $12$ aus $36 x^{2}$ heraus.

$12 (3 x^{2}) + 96 x + 48 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $12$ aus $96 x$ heraus.

$12 (3 x^{2}) + 12 (8 x) + 48 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $12$ aus $48$ heraus.

$12 (3 x^{2}) + 12 (8 x) + 12 (4) = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $12$ aus $12 (3 x^{2}) + 12 (8 x)$ heraus.

$12 (3 x^{2} + 8 x) + 12 (4) = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $12$ aus $12 (3 x^{2} + 8 x) + 12 (4)$ heraus.

$12 (3 x^{2} + 8 x + 4) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$12 (3 x^{2} + 8 (x) + 4) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Schreibe $8$ um als $2$ plus $6$

$12 (3 x^{2} + (2 + 6) x + 4) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (3 x^{2} + 2 x + 6 x + 4) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$12 ((3 x^{2} + 2 x) + 6 x + 4) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$12 (x (3 x + 2) + 2 (3 x + 2)) = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 2$ .

$12 ((3 x + 2) (x + 2)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$12 (3 x + 2) (x + 2) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 2.4

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $3 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 2.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 (3 x + 2) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{2}{3}, - 2$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $- \frac{2}{3}$ in $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{4} + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2}{3}$ an.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{2}{3})}^{4}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Schritt 3.1.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Schritt 3.1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{2^{4}}{3^{4}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Schritt 3.1.2.1.4

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Schritt 3.1.2.1.5

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Schritt 3.1.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Schritt 3.1.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Schritt 3.1.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Schritt 3.1.2.1.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.2.1.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2}{3}$ an.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Schritt 3.1.2.1.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}})) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Schritt 3.1.2.1.8

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{2^{3}}{3^{3}}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Schritt 3.1.2.1.9

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{8}{3^{3}}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Schritt 3.1.2.1.10

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{8}{27}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Schritt 3.1.2.1.11

Multipliziere $16 (- \frac{8}{27})$ .

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Schritt 3.1.2.1.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 16 (\frac{8}{27}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Schritt 3.1.2.1.11.2

Kombiniere $- 16$ und $\frac{8}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 16 \cdot 8}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Schritt 3.1.2.1.11.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 128}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Schritt 3.1.2.1.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Schritt 3.1.2.1.13

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.2.1.13.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2}{3}$ an.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) + 32$

Schritt 3.1.2.1.13.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 32$

Schritt 3.1.2.1.14

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 32$

Schritt 3.1.2.1.15

Mutltipliziere $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) + 32$

Schritt 3.1.2.1.16

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{4}{3^{2}}) + 32$

Schritt 3.1.2.1.17

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{4}{9}) + 32$

Schritt 3.1.2.1.18

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.1.18.1

Faktorisiere $3$ aus $24$ heraus.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 (8) (\frac{4}{9}) + 32$

Schritt 3.1.2.1.18.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 \cdot (8 (\frac{4}{3 \cdot 3})) + 32$

Schritt 3.1.2.1.18.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 \cdot (8 (\frac{4}{3 \cdot 3})) + 32$

Schritt 3.1.2.1.18.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 8 (\frac{4}{3}) + 32$

Schritt 3.1.2.1.19

Kombiniere $8$ und $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + \frac{8 \cdot 4}{3} + 32$

Schritt 3.1.2.1.20

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + \frac{32}{3} + 32$

Schritt 3.1.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.1.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2}{3}) = 32 + \frac{16 - 128}{27} + \frac{32}{3}$

Schritt 3.1.2.2.2

Subtrahiere $128$ von $16$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 32 + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Schritt 3.1.2.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.1.2.3.1

Schreibe $32$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{1} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Schritt 3.1.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{32}{1}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{1} \cdot \frac{27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Schritt 3.1.2.3.3

Mutltipliziere $\frac{32}{1}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Schritt 3.1.2.3.4

Mutltipliziere $\frac{32}{3}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 3.1.2.3.5

Mutltipliziere $\frac{32}{3}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Schritt 3.1.2.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32 \cdot 9}{27}$

Schritt 3.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27 - 112 + 32 \cdot 9}{27}$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.5.1

Mutltipliziere $32$ mit $27$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{864 - 112 + 32 \cdot 9}{27}$

Schritt 3.1.2.5.2

Mutltipliziere $32$ mit $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{864 - 112 + 288}{27}$

Schritt 3.1.2.6

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.1.2.6.1

Subtrahiere $112$ von $864$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{752 + 288}{27}$

Schritt 3.1.2.6.2

Addiere $752$ und $288$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{1040}{27}$

Schritt 3.1.2.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{1040}{27}$ .

$\frac{1040}{27}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{2}{3}$ in $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$

Schritt 3.3

Ersetze $- 2$ in $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{4} + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 16 + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f (- 2) = 48 + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Schritt 3.3.2.1.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f (- 2) = 48 + 16 \cdot - 8 + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Schritt 3.3.2.1.4

Mutltipliziere $16$ mit $- 8$ .

$f (- 2) = 48 - 128 + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Schritt 3.3.2.1.5

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = 48 - 128 + 24 \cdot 4 + 32$

Schritt 3.3.2.1.6

Mutltipliziere $24$ mit $4$ .

$f (- 2) = 48 - 128 + 96 + 32$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.3.2.2.1

Subtrahiere $128$ von $48$ .

$f (- 2) = - 80 + 96 + 32$

Schritt 3.3.2.2.2

Addiere $- 80$ und $96$ .

$f (- 2) = 16 + 32$

Schritt 3.3.2.2.3

Addiere $16$ und $32$ .

$f (- 2) = 48$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $48$ .

$48$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 2$ in $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ ermittelt werden kann, ist $(- 2, 48)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 2, 48)$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27}), (- 2, 48)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 36 {(- 2.1)}^{2} + 96 (- 2.1) + 48$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2.1$ mit $2$ .

$f'' (- 2.1) = 36 \cdot 4.41 + 96 (- 2.1) + 48$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 158.76 + 96 (- 2.1) + 48$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $96$ mit $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 158.76 - 201.6 + 48$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $201.6$ von $158.76$ .

$f'' (- 2.1) = - 42.84 + 48$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 42.84$ und $48$ .

$f'' (- 2.1) = 5.16$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $5.16$ .

$5.16$

Schritt 5.3

Bei $- 2.1$ ist die zweite Ableitung $5.16$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - 2)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, - \frac{2}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.\overline{3}$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 36 {(- 1.\overline{3})}^{2} + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 1.\overline{3}$ mit $2$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 36 \cdot 1.\overline{7} + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $1.\overline{7}$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 64 + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $96$ mit $- 1.\overline{3}$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 64 - 128 + 48$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $128$ von $64$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = - 64 + 48$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 64$ und $48$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = - 16$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 16$ .

$- 16$

Schritt 6.3

Bei $- 1.\overline{3}$ , die zweite Ableitung ist $- 16$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 2, - \frac{2}{3})$

Abfallend im Intervall $(- 2, - \frac{2}{3})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{2}{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.5\overline{6}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 36 {(- 0.5\overline{6})}^{2} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 0.5\overline{6}$ mit $2$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 36 \cdot 0.32\overline{1} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $0.32\overline{1}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 11.55\overline{9} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $96$ mit $- 0.5\overline{6}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 11.55\overline{9} - 54.4 + 48$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $54.4$ von $11.55\overline{9}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 42.84 + 48$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 42.84$ und $48$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 5.16$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $5.16$ .

$5.16$

Schritt 7.3

Bei $- 0.5\overline{6}$ ist die zweite Ableitung $5.16$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \frac{2}{3}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \frac{2}{3}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, 48), (- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$ .

$(- 2, 48), (- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$

Schritt 9