Analysis Beispiele

$f (x) = (x^{2}) (9 \sqrt{x} + 5)$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} + 5$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}} + 5] + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{\frac{1}{2}} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$x^{2} (9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 8.3

Kombiniere $9$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x^{2} (\frac{9 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 8.4

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 9

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} (\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.1

Addiere $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$x^{2} \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 10.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 10.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.3.1

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{9 \cdot x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 10.3.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{9 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 11

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 11.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 2}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 11.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 11.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 11.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 11.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{9 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 11.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) (2 x)$

Schritt 13

Bringe $2$ auf die linke Seite von $9 x^{\frac{1}{2}} + 5$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 \cdot (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) x$

Schritt 14

Vereinige $\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ und $2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) x$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 14.1

Bewege $9 x^{\frac{1}{2}} + 5$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)$

Schritt 14.2

Um $2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 14.3

Kombiniere $2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \cdot 2}{2}$

Schritt 14.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \cdot 2}{2}$

Schritt 15

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)}{2}$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 x (9 x^{\frac{1}{2}}) + 4 x \cdot 5}{2}$

Schritt 16.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

Schritt 16.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 16.2.1.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 (x^{\frac{1}{2}} x) + 4 x \cdot 5}{2}$

Schritt 16.2.1.2.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 16.2.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 4 x \cdot 5}{2}$

Schritt 16.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x^{\frac{1}{2} + 1} + 4 x \cdot 5}{2}$

Schritt 16.2.1.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

Schritt 16.2.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

Schritt 16.2.1.2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

Schritt 16.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 36 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

Schritt 16.2.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 36 x^{\frac{3}{2}} + 20 x}{2}$

Schritt 16.2.2

Addiere $9 x^{\frac{3}{2}}$ und $36 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}} + 20 x}{2}$

Schritt 16.3

Stelle die Terme um.

$\frac{20 x + 45 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 16.4

Faktorisiere $5 x$ aus $20 x + 45 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

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Schritt 16.4.1

Faktorisiere $5 x$ aus $20 x$ heraus.

$\frac{5 x (4) + 45 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 16.4.2

Faktorisiere $5 x$ aus $45 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{5 x (4) + 5 x (9 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 16.4.3

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x (4) + 5 x (9 x^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{5 x (4 + 9 x^{\frac{1}{2}})}{2}$