Analysis Beispiele

${(\frac{t^{3}}{t^{6} + 3})}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = \frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ .

$2 \frac{t^{3}}{t^{6} + 3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

Schritt 2

Kombiniere $2$ und $\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t^{3}$ und $g (t) = t^{6} + 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{(t^{6} + 3) \frac{d}{d t} [t^{3}] - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{6} + 3]}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{(t^{6} + 3) (3 t^{2}) - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{6} + 3]}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Schritt 4.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $t^{6} + 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 \cdot (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{6} + 3]}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Schritt 4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{6} + 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (6 t^{5} + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Schritt 4.5

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (6 t^{5} + 0)}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Addiere $6 t^{5}$ und $0$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (6 t^{5})}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{3} t^{5}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Schritt 5

Multipliziere $t^{3}$ mit $t^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Bewege $t^{5}$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 (t^{5} t^{3})}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{5 + 3}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.3

Addiere $5$ und $3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3}$ mit $\frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{(t^{6} + 3) {(t^{6} + 3)}^{2}}$

Schritt 7

Multipliziere $t^{6} + 3$ mit ${(t^{6} + 3)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $t^{6} + 3$ mit ${(t^{6} + 3)}^{2}$ .

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Schritt 7.1.1

Potenziere $t^{6} + 3$ mit $1$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{1} {(t^{6} + 3)}^{2}}$

Schritt 7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{1 + 2}}$

Schritt 7.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 t^{3} ((3 t^{6} + 3 \cdot 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{6} t^{2} + 3 \cdot 3 t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{6} t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.4.1.1

Multipliziere $t^{3}$ mit $t^{6}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.1.1.1

Bewege $t^{6}$ .

$\frac{2 (t^{6} t^{3}) (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 t^{6 + 3} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.1.3

Addiere $6$ und $3$ .

$\frac{2 t^{9} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 \cdot 3 t^{9} t^{2} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.3

Multipliziere $t^{9}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.1.3.1

Bewege $t^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3 (t^{2} t^{9}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \cdot 3 t^{2 + 9} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.3.3

Addiere $2$ und $9$ .

$\frac{2 \cdot 3 t^{11} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{3} t^{2} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.6

Multipliziere $t^{3}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.1.6.1

Bewege $t^{2}$ .

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 (t^{2} t^{3}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{2 + 3} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.6.3

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{5} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.7

Multipliziere $2 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Schritt 8.4.1.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 6 \cdot 3 t^{5} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.7.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 t^{3} t^{8}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.9

Multipliziere $t^{3}$ mit $t^{8}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.1.9.1

Bewege $t^{8}$ .

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 (t^{8} t^{3})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.9.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 t^{8 + 3}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.9.3

Addiere $8$ und $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 t^{11}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} - 12 t^{11}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.4.2

Subtrahiere $12 t^{11}$ von $6 t^{11}$ .

$\frac{- 6 t^{11} + 18 t^{5}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.5

Faktorisiere $6 t^{5}$ aus $- 6 t^{11} + 18 t^{5}$ heraus.

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Schritt 8.5.1

Faktorisiere $6 t^{5}$ aus $- 6 t^{11}$ heraus.

$\frac{6 t^{5} (- t^{6}) + 18 t^{5}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.5.2

Faktorisiere $6 t^{5}$ aus $18 t^{5}$ heraus.

$\frac{6 t^{5} (- t^{6}) + 6 t^{5} (3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.5.3

Faktorisiere $6 t^{5}$ aus $6 t^{5} (- t^{6}) + 6 t^{5} (3)$ heraus.

$\frac{6 t^{5} (- t^{6} + 3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- t^{6}$ heraus.

$\frac{6 t^{5} (- (t^{6}) + 3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.7

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{6 t^{5} (- (t^{6}) - 1 (- 3))}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t^{6}) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{6 t^{5} (- (t^{6} - 3))}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.9

Schreibe $- (t^{6} - 3)$ als $- 1 (t^{6} - 3)$ um.

$\frac{6 t^{5} (- 1 (t^{6} - 3))}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(6 t^{5}) (t^{6} - 3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$