Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{5}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$15 x^{4} - 10 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 10$ .

$15 x^{4} - 40 x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$15 x^{4} - 40 x^{3} + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $15 x^{4} - 40 x^{3}$ und $0$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 40 x^{3}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $15 x^{4} - 40 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x^{4}$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 40$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 40 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 x^{3} - 40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$60 x^{3} - 40 (3 x^{2})$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 40$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 120 x^{2}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $60 x^{3} - 120 x^{2}$ .

$60 x^{3} - 120 x^{2}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $60 x^{3} - 120 x^{2} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$60 x^{3} - 120 x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $60 x^{2}$ aus $60 x^{3} - 120 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $60 x^{2}$ aus $60 x^{3}$ heraus.

$60 x^{2} (x) - 120 x^{2} = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $60 x^{2}$ aus $- 120 x^{2}$ heraus.

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (- 2) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $60 x^{2}$ aus $60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (- 2)$ heraus.

$60 x^{2} (x - 2) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $60 x^{2} (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0$ in $f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 3 {(0)}^{5} - 10 {(0)}^{4} + 1$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 10 {(0)}^{4} + 1$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f (0) = 0 - 10 {(0)}^{4} + 1$

Schritt 3.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 10 \cdot 0 + 1$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Schritt 3.1.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f (0) = 1$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ ermittelt werden kann, ist $(0, 1)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 1)$

Schritt 3.3

Ersetze $2$ in $f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = 3 {(2)}^{5} - 10 {(2)}^{4} + 1$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (2) = 3 \cdot 32 - 10 {(2)}^{4} + 1$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $32$ .

$f (2) = 96 - 10 {(2)}^{4} + 1$

Schritt 3.3.2.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (2) = 96 - 10 \cdot 16 + 1$

Schritt 3.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $16$ .

$f (2) = 96 - 160 + 1$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.3.2.2.1

Subtrahiere $160$ von $96$ .

$f (2) = - 64 + 1$

Schritt 3.3.2.2.2

Addiere $- 64$ und $1$ .

$f (2) = - 63$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 63$ .

$- 63$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $2$ in $f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{4} + 1$ ermittelt werden kann, ist $(2, - 63)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(2, - 63)$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 1), (2, - 63)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 60 {(- 0.1)}^{3} - 120 {(- 0.1)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 0.1$ mit $3$ .

$f'' (- 0.1) = 60 \cdot - 0.001 - 120 {(- 0.1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $60$ mit $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.06 - 120 {(- 0.1)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 0.1$ mit $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.06 - 120 \cdot 0.01$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $- 120$ mit $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.06 - 1.2$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $1.2$ von $- 0.06$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.26$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1.26$ .

$- 1.26$

Schritt 5.3

Bei $- 0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 1.26$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, 0)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f'' (1) = 60 {(1)}^{3} - 120 {(1)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (1) = 60 \cdot 1 - 120 {(1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $60$ mit $1$ .

$f'' (1) = 60 - 120 {(1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (1) = 60 - 120 \cdot 1$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 120$ mit $1$ .

$f'' (1) = 60 - 120$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $120$ von $60$ .

$f'' (1) = - 60$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 60$ .

$- 60$

Schritt 6.3

Bei $1$ , die zweite Ableitung ist $- 60$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, 2)$

Abfallend im Intervall $(0, 2)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.1$ .

$f'' (2.1) = 60 {(2.1)}^{3} - 120 {(2.1)}^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $2.1$ mit $3$ .

$f'' (2.1) = 60 \cdot 9.261 - 120 {(2.1)}^{2}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $60$ mit $9.261$ .

$f'' (2.1) = 555.66 - 120 {(2.1)}^{2}$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $2.1$ mit $2$ .

$f'' (2.1) = 555.66 - 120 \cdot 4.41$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $- 120$ mit $4.41$ .

$f'' (2.1) = 555.66 - 529.2$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $529.2$ von $555.66$ .

$f'' (2.1) = 26.46$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $26.46$ .

$26.46$

Schritt 7.3

Bei $2.1$ ist die zweite Ableitung $26.46$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(2, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(2, - 63)$ .

$(2, - 63)$

Schritt 9