Analysis Beispiele

$f (x) = 7 x^{6} - 11 x^{5}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x^{6} - 11 x^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 11 x^{5})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x^{6}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{6}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f' (x) = 7 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 11 x^{5})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$f' (x) = 7 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 11 x^{5})$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$f' (x) = 42 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 11 x^{5})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 11 x^{5}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11 x^{5}$ nach $x$ gleich $- 11 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 42 x^{5} - 11 \frac{d}{d x} x^{5}$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f' (x) = 42 x^{5} - 11 (5 x^{4})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 11$ .

$f' (x) = 42 x^{5} - 55 x^{4}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $42 x^{5} - 55 x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 55 x^{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (42 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 55 x^{4})$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Da $42$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $42 x^{5}$ nach $x$ gleich $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 42 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 55 x^{4})$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f'' (x) = 42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 55 x^{4})$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $42$ .

$f'' (x) = 210 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 55 x^{4})$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 55 x^{4}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Da $- 55$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 55 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 55 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 210 x^{4} - 55 \frac{d}{d x} x^{4}$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 210 x^{4} - 55 (4 x^{3})$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 55$ .

$f'' (x) = 210 x^{4} - 220 x^{3}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $210 x^{4} - 220 x^{3}$ .

$210 x^{4} - 220 x^{3}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $210 x^{4} - 220 x^{3} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$210 x^{4} - 220 x^{3} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $10 x^{3}$ aus $210 x^{4} - 220 x^{3}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Faktorisiere $10 x^{3}$ aus $210 x^{4}$ heraus.

$10 x^{3} (21 x) - 220 x^{3} = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $10 x^{3}$ aus $- 220 x^{3}$ heraus.

$10 x^{3} (21 x) + 10 x^{3} (- 22) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $10 x^{3}$ aus $10 x^{3} (21 x) + 10 x^{3} (- 22)$ heraus.

$10 x^{3} (21 x - 22) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

$21 x - 22 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze $x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $21 x - 22$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Setze $21 x - 22$ gleich $0$ .

$21 x - 22 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $21 x - 22 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Addiere $22$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$21 x = 22$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $21 x = 22$ durch $21$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $21 x = 22$ durch $21$ .

$\frac{21 x}{21} = \frac{22}{21}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $21$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{21 x}{21} = \frac{22}{21}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{22}{21}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $10 x^{3} (21 x - 22) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{22}{21}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze $0$ in $f (x) = 7 x^{6} - 11 x^{5}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 7 {(0)}^{6} - 11 {(0)}^{5}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 7 \cdot 0 - 11 {(0)}^{5}$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$f (0) = 0 - 11 {(0)}^{5}$

Schritt 3.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 11 \cdot 0$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 11$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = 7 x^{6} - 11 x^{5}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 3.3

Ersetze $\frac{22}{21}$ in $f (x) = 7 x^{6} - 11 x^{5}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{22}{21}$ .

$f (\frac{22}{21}) = 7 {(\frac{22}{21})}^{6} - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{22}{21}$ an.

$f (\frac{22}{21}) = 7 (\frac{22^{6}}{21^{6}}) - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $22$ mit $6$ .

$f (\frac{22}{21}) = 7 (\frac{113379904}{21^{6}}) - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.3

Potenziere $21$ mit $6$ .

$f (\frac{22}{21}) = 7 (\frac{113379904}{85766121}) - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.4.1

Faktorisiere $7$ aus $85766121$ heraus.

$f (\frac{22}{21}) = 7 (\frac{113379904}{7 (12252303)}) - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{22}{21}) = 7 (\frac{113379904}{7 \cdot 12252303}) - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{22}{21}$ an.

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - 11 \frac{22^{5}}{21^{5}}$

Schritt 3.3.2.1.6

Potenziere $22$ mit $5$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - 11 \frac{5153632}{21^{5}}$

Schritt 3.3.2.1.7

Potenziere $21$ mit $5$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - 11 (\frac{5153632}{4084101})$

Schritt 3.3.2.1.8

Multipliziere $- 11 (\frac{5153632}{4084101})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.8.1

Kombiniere $- 11$ und $\frac{5153632}{4084101}$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} + \frac{- 11 \cdot 5153632}{4084101}$

Schritt 3.3.2.1.8.2

Mutltipliziere $- 11$ mit $5153632$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} + \frac{- 56689952}{4084101}$

Schritt 3.3.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - \frac{56689952}{4084101}$

Schritt 3.3.2.2

Um $- \frac{56689952}{4084101}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - \frac{56689952}{4084101} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12252303$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{56689952}{4084101}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - \frac{56689952 \cdot 3}{4084101 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.3.2

Mutltipliziere $4084101$ mit $3$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - \frac{56689952 \cdot 3}{12252303}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904 - 56689952 \cdot 3}{12252303}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 56689952$ mit $3$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904 - 170069856}{12252303}$

Schritt 3.3.2.5.2

Subtrahiere $170069856$ von $113379904$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{- 56689952}{12252303}$

Schritt 3.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{22}{21}) = - \frac{56689952}{12252303}$

Schritt 3.3.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{56689952}{12252303}$ .

$- \frac{56689952}{12252303}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{22}{21}$ in $f (x) = 7 x^{6} - 11 x^{5}$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{22}{21}, - \frac{56689952}{12252303})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{22}{21}, - \frac{56689952}{12252303})$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (\frac{22}{21}, - \frac{56689952}{12252303})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{22}{21}) \cup (\frac{22}{21}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 210 {(- 0.1)}^{4} - 220 {(- 0.1)}^{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 0.1$ mit $4$ .

$f'' (- 0.1) = 210 \cdot 0.0001 - 220 {(- 0.1)}^{3}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $210$ mit $0.0001$ .

$f'' (- 0.1) = 0.021 - 220 {(- 0.1)}^{3}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 0.1$ mit $3$ .

$f'' (- 0.1) = 0.021 - 220 \cdot - 0.001$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $- 220$ mit $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = 0.021 + 0.22$

Schritt 5.2.2

Addiere $0.021$ und $0.22$ .

$f'' (- 0.1) = 0.241$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.241$ .

$0.241$

Schritt 5.3

Bei $- 0.1$ ist die zweite Ableitung $0.241$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \frac{22}{21})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.\overline{523809}$ .

$f'' (0.\overline{523809}) = 210 {(0.\overline{523809})}^{4} - 220 {(0.\overline{523809})}^{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Potenziere $0.\overline{523809}$ mit $4$ .

$f'' (0.\overline{523809}) = 210 \cdot 0.07528241 - 220 {(0.\overline{523809})}^{3}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $210$ mit $0.07528241$ .

$f'' (0.\overline{523809}) = 15.80930785 - 220 {(0.\overline{523809})}^{3}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $0.\overline{523809}$ mit $3$ .

$f'' (0.\overline{523809}) = 15.80930785 - 220 \cdot 0.14372098$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 220$ mit $0.14372098$ .

$f'' (0.\overline{523809}) = 15.80930785 - 31.6186157$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $31.6186157$ von $15.80930785$ .

$f'' (0.\overline{523809}) = - 15.80930785$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 15.80930785$ .

$- 15.80930785$

Schritt 6.3

Bei $0.\overline{523809}$ , die zweite Ableitung ist $- 15.80930785$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, \frac{22}{21})$

Abfallend im Intervall $(0, \frac{22}{21})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{22}{21}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.1\overline{476190}$ .

$f'' (1.1\overline{476190}) = 210 {(1.1\overline{476190})}^{4} - 220 {(1.1\overline{476190})}^{3}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Potenziere $1.1\overline{476190}$ mit $4$ .

$f'' (1.1\overline{476190}) = 210 \cdot 1.73456664 - 220 {(1.1\overline{476190})}^{3}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $210$ mit $1.73456664$ .

$f'' (1.1\overline{476190}) = 364.25899589 - 220 {(1.1\overline{476190})}^{3}$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $1.1\overline{476190}$ mit $3$ .

$f'' (1.1\overline{476190}) = 364.25899589 - 220 \cdot 1.51144811$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $- 220$ mit $1.51144811$ .

$f'' (1.1\overline{476190}) = 364.25899589 - 332.51858546$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $332.51858546$ von $364.25899589$ .

$f'' (1.1\overline{476190}) = 31.74041043$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $31.74041043$ .

$31.74041043$

Schritt 7.3

Bei $1.1\overline{476190}$ ist die zweite Ableitung $31.74041043$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{22}{21}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{22}{21}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (\frac{22}{21}, - \frac{56689952}{12252303})$ .

$(0, 0), (\frac{22}{21}, - \frac{56689952}{12252303})$

Schritt 9