Analysis Beispiele

$f (x) = 6 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 7$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{3}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$f' (x) = 18 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 18 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 18 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$f' (x) = 18 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 18 x^{2} - 24 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 18 x^{2} - 24 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7)$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f' (x) = 18 x^{2} - 24 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 7)$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.5.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 18 x^{2} - 24 x + 6 + 0$

Schritt 1.1.5.2

Addiere $18 x^{2} - 24 x + 6$ und $0$ .

$f' (x) = 18 x^{2} - 24 x + 6$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $18 x^{2} - 24 x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18 x^{2}$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 18 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$f'' (x) = 36 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 x$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$f'' (x) = 36 x - 24 + \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.2.4.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 36 x - 24 + 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $36 x - 24$ und $0$ .

$f'' (x) = 36 x - 24$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $36 x - 24$ .

$36 x - 24$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $36 x - 24 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$36 x - 24 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $24$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$36 x = 24$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $36 x = 24$ durch $36$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $36 x = 24$ durch $36$ .

$\frac{36 x}{36} = \frac{24}{36}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $36$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{36 x}{36} = \frac{24}{36}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{24}{36}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $36$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Faktorisiere $12$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{12 (2)}{36}$

Schritt 2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $12$ aus $36$ heraus.

$x = \frac{12 \cdot 2}{12 \cdot 3}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{12 \cdot 2}{12 \cdot 3}$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $\frac{2}{3}$ in $f (x) = 6 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 7$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = 6 {(\frac{2}{3})}^{3} - 12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$f (\frac{2}{3}) = 6 (\frac{2^{3}}{3^{3}}) - 12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Schritt 3.1.2.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = 6 (\frac{8}{3^{3}}) - 12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Schritt 3.1.2.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = 6 (\frac{8}{27}) - 12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Schritt 3.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{2}{3}) = 3 (2) (\frac{8}{27}) - 12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Schritt 3.1.2.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$f (\frac{2}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{8}{3 \cdot 9})) - 12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Schritt 3.1.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{8}{3 \cdot 9})) - 12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Schritt 3.1.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2}{3}) = 2 (\frac{8}{9}) - 12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Schritt 3.1.2.1.5

Kombiniere $2$ und $\frac{8}{9}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{2 \cdot 8}{9} - 12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Schritt 3.1.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - 12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Schritt 3.1.2.1.7

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - 12 \frac{2^{2}}{3^{2}} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Schritt 3.1.2.1.8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - 12 \frac{4}{3^{2}} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Schritt 3.1.2.1.9

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - 12 (\frac{4}{9}) + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Schritt 3.1.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.1.10.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} + 3 (- 4) (\frac{4}{9}) + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Schritt 3.1.2.1.10.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} + 3 \cdot (- 4 \frac{4}{3 \cdot 3}) + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Schritt 3.1.2.1.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} + 3 \cdot (- 4 \frac{4}{3 \cdot 3}) + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Schritt 3.1.2.1.10.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - 4 (\frac{4}{3}) + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Schritt 3.1.2.1.11

Kombiniere $- 4$ und $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} + \frac{- 4 \cdot 4}{3} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Schritt 3.1.2.1.12

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} + \frac{- 16}{3} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Schritt 3.1.2.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16}{3} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Schritt 3.1.2.1.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.1.14.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16}{3} + 3 (2) (\frac{2}{3}) - 7$

Schritt 3.1.2.1.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16}{3} + 3 \cdot (2 (\frac{2}{3})) - 7$

Schritt 3.1.2.1.14.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16}{3} + 2 \cdot 2 - 7$

Schritt 3.1.2.1.15

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16}{3} + 4 - 7$

Schritt 3.1.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{16}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - (\frac{16}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 4 - 7$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{16}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 4 - 7$

Schritt 3.1.2.2.3

Schreibe $4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{1} - 7$

Schritt 3.1.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{9}{9} - 7$

Schritt 3.1.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 9}{9} - 7$

Schritt 3.1.2.2.6

Schreibe $- 7$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{- 7}{1}$

Schritt 3.1.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{- 7}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 3.1.2.2.8

Mutltipliziere $\frac{- 7}{1}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{- 7 \cdot 9}{9}$

Schritt 3.1.2.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{- 7 \cdot 9}{9}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16 - 16 \cdot 3 + 4 \cdot 9 - 7 \cdot 9}{9}$

Schritt 3.1.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 16$ mit $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16 - 48 + 4 \cdot 9 - 7 \cdot 9}{9}$

Schritt 3.1.2.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16 - 48 + 36 - 7 \cdot 9}{9}$

Schritt 3.1.2.4.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $9$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16 - 48 + 36 - 63}{9}$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.2.5.1

Subtrahiere $48$ von $16$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 32 + 36 - 63}{9}$

Schritt 3.1.2.5.2

Addiere $- 32$ und $36$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4 - 63}{9}$

Schritt 3.1.2.5.3

Subtrahiere $63$ von $4$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 59}{9}$

Schritt 3.1.2.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{59}{9}$

Schritt 3.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{59}{9}$ .

$- \frac{59}{9}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{2}{3}$ in $f (x) = 6 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 7$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{2}{3}, - \frac{59}{9})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{2}{3}, - \frac{59}{9})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{2}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.5\overline{6}$ .

$f'' (0.5\overline{6}) = 36 (0.5\overline{6}) - 24$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $36$ mit $0.5\overline{6}$ .

$f'' (0.5\overline{6}) = 20.4 - 24$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $24$ von $20.4$ .

$f'' (0.5\overline{6}) = - 3.6$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3.6$ .

$- 3.6$

Schritt 5.3

Bei $0.5\overline{6}$ , die zweite Ableitung ist $- 3.6$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, \frac{2}{3})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{2}{3})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{2}{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.7\overline{6}$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 36 (0.7\overline{6}) - 24$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $36$ mit $0.7\overline{6}$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 27.6 - 24$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $24$ von $27.6$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 3.6$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $3.6$ .

$3.6$

Schritt 6.3

Bei $0.7\overline{6}$ ist die zweite Ableitung $3.6$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{2}{3}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{2}{3}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(\frac{2}{3}, - \frac{59}{9})$ .

$(\frac{2}{3}, - \frac{59}{9})$

Schritt 8