Analysis Beispiele

$f (x) = x + \frac{32}{x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{32}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{32}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Schritt 1.1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 1.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 1.1.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 1.1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 1.1.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 1.1.2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Schritt 1.1.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 1.1.2.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 1.1.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $32$ .

$f' (x) = 1 - 64 x^{- 3}$

Schritt 1.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.4.1.1

Kombiniere $- 64$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 64}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 1 - \frac{64}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{64}{x^{3}} + 1$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{64}{x^{3}} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{64}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $- 64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{64}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $- 64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 1.2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.2.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.2.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.2.2.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.2.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.2.2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.2.2.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.2.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 64$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + 0$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 192 (\frac{1}{x^{4}}) + 0$

Schritt 1.2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.2.4.2.1

Kombiniere $192$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}} + 0$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $\frac{192}{x^{4}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{192}{x^{4}}$ .

$\frac{192}{x^{4}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{192}{x^{4}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{192}{x^{4}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$192 = 0$

Schritt 2.3

Da $192 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte