Analysis Beispiele

$f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{16 - x^{2}}$ als ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 16 - x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $16 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $16 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8.3

Bringe ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (16) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.10

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.14.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.14.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.14.3

Kombiniere $\frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.16

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.18

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.19

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.20

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.20.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.20.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.20.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.22

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 1.1.23

Mutltipliziere ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.24

Um ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.26

Multipliziere ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.26.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.26.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.26.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.26.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 16 - x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.27

Vereinfache ${(16 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 16 - x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.28

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.29

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = - 2 x^{2} + 16$ und $g (x) = {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.4

Differenziere.

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Schritt 1.2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x^{2} + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.4.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (16)) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (16)) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.4.5

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.4.6

Addiere $- 4 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = - x^{2} + 16$ .

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Schritt 1.2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{2} + 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{2} + 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.10.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(- x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{{(- x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.10.3

Bringe ${(- x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)))}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)))}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (16)))}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.14

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (16)))}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.15

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.16

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.16.1

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.16.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.16.3

Kombiniere $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.16.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.17

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.17.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.17.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.17.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{- x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 16) (\frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.20

Mutltipliziere $- 2 x^{2} + 16$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 16) (\frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21

Vereinfache.

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Schritt 1.2.21.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.21.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 16) (\frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.1.2

Mutltipliziere $- 2 x^{2} + 16$ mit $\frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 16) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2} + 16$ heraus.

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Schritt 1.2.21.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 16) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (8)) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.1.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{2}) + 2 (8)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.1.4

Um $- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.1.5

Kombiniere $- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x$ und $\frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.1.7

Schreibe $\frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.2.21.1.7.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 8) x$ heraus.

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Schritt 1.2.21.1.7.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.1.7.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $2 (- x^{2} + 8) x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.1.7.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 8)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.1.7.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.2.21.1.7.2.1

Multipliziere ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.21.1.7.2.1.1

Bewege ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.1.7.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.1.7.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.1.7.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.1.7.2.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 16) - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.1.7.2.2

Vereinfache $- 2 {(- x^{2} + 16)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 16) - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.21.1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 16 - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.1.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 16 - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.1.8.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $16$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 32 - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.1.8.4

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 32 + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.1.8.5

Addiere $- 32$ und $8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.2.21.2.1

Schreibe $\frac{\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 16}$

Schritt 1.2.21.2.2

Mutltipliziere $\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{- x^{2} + 16}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 16)}$

Schritt 1.2.21.2.3

Multipliziere ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ mit $- x^{2} + 16$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.21.2.3.1

Mutltipliziere ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ mit $- x^{2} + 16$ .

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Schritt 1.2.21.2.3.1.1

Potenziere $- x^{2} + 16$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 16)}$

Schritt 1.2.21.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 1.2.21.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.21.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 1.2.21.2.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x (x^{2} - 24) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 24 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.3.3

Setze $x^{2} - 24$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $x^{2} - 24$ gleich $0$ .

$x^{2} - 24 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Löse $x^{2} - 24 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.2.1

Addiere $24$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 24$

Schritt 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{24}$

Schritt 2.3.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{24}$ .

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Schritt 2.3.3.2.3.1

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 2.3.3.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \pm \sqrt{4 (6)}$

Schritt 2.3.3.2.3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Schritt 2.3.3.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 2 \sqrt{6}$

Schritt 2.3.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 \sqrt{6}$

Schritt 2.3.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 \sqrt{6}$

Schritt 2.3.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 \sqrt{6}, - 2 \sqrt{6}$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (x^{2} - 24) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2 \sqrt{6}, - 2 \sqrt{6}$

Schritt 2.4

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ nicht erfüllen.

$x = 0$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0$ in $f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = (0) \sqrt{16 - {(0)}^{2}}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{16 - 0}$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{16 + 0}$

Schritt 3.1.2.3

Addiere $16$ und $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{16}$

Schritt 3.1.2.4

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (0) = 0 \sqrt{4^{2}}$

Schritt 3.1.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (0) = 0 \cdot 4$

Schritt 3.1.2.6

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.1.2.7

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{2 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} - 24)}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.2 ({(- 0.1)}^{2} - 24)}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 0.2$ mit ${(- 0.1)}^{2} - 24$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Potenziere $- 0.1$ mit $2$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{(- 1 \cdot 0.01 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{(- 0.01 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 0.01$ und $16$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{15.99}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.2.2.3

Schreibe $15.99$ als ${3.9987498}^{2}$ um.

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{({3.9987498}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.2.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{3.9987498}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 5.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{3.9987498}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 5.2.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{3.9987498}^{3}}$

Schritt 5.2.2.6

Potenziere $3.9987498$ mit $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{63.94000937}$

Schritt 5.2.3

Dividiere $4.798$ durch $63.94000937$ .

$f'' (- 0.1) = 0.07503908$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.07503908$ .

$0.07503908$

Schritt 5.3

Bei $- 0.1$ ist die zweite Ableitung $0.07503908$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{2 (0.1) ({(0.1)}^{2} - 24)}{{(- {(0.1)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.2 ({0.1}^{2} - 24)}{{(- {0.1}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $0.2$ mit ${0.1}^{2} - 24$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{(- {0.1}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1

Potenziere $0.1$ mit $2$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{(- 1 \cdot 0.01 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.01$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{(- 0.01 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 0.01$ und $16$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{15.99}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2.2.3

Schreibe $15.99$ als ${3.9987498}^{2}$ um.

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{({3.9987498}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{3.9987498}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 6.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{3.9987498}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 6.2.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{3.9987498}^{3}}$

Schritt 6.2.2.6

Potenziere $3.9987498$ mit $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{63.94000937}$

Schritt 6.2.3

Dividiere $- 4.798$ durch $63.94000937$ .

$f'' (0.1) = - 0.07503908$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.07503908$ .

$- 0.07503908$

Schritt 6.3

Bei $0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.07503908$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, \infty)$

Abfallend im Intervall $(0, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Schritt 8