Analysis Beispiele

$x = 45 + 3 x + 5 y + \frac{x y}{10}$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $45 + 3 x + 5 y + \frac{x y}{10} = x$ um.

$45 + 3 x + 5 y + \frac{x y}{10} = x$

Schritt 1.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $45$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x + 5 y + \frac{x y}{10} = x - 45$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y + \frac{x y}{10} = x - 45 - 3 x$

Schritt 1.2.3

Subtrahiere $3 x$ von $x$ .

$5 y + \frac{x y}{10} = - 2 x - 45$

Schritt 1.3

Faktorisiere $y$ aus $5 y + \frac{x y}{10}$ heraus.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $y$ aus $5 y$ heraus.

$y \cdot 5 + \frac{x y}{10} = - 2 x - 45$

Schritt 1.3.2

Faktorisiere $y$ aus $\frac{x y}{10}$ heraus.

$y \cdot 5 + y (\frac{x}{10}) = - 2 x - 45$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 5 + y \frac{x}{10}$ heraus.

$y (5 + \frac{x}{10}) = - 2 x - 45$

Schritt 1.4

Teile jeden Ausdruck in $y (5 + \frac{x}{10}) = - 2 x - 45$ durch $5 + \frac{x}{10}$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (5 + \frac{x}{10}) = - 2 x - 45$ durch $5 + \frac{x}{10}$ .

$\frac{y (5 + \frac{x}{10})}{5 + \frac{x}{10}} = \frac{- 2 x}{5 + \frac{x}{10}} + \frac{- 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 + \frac{x}{10}$ .

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Schritt 1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (5 + \frac{x}{10})}{5 + \frac{x}{10}} = \frac{- 2 x}{5 + \frac{x}{10}} + \frac{- 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Schritt 1.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 2 x}{5 + \frac{x}{10}} + \frac{- 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 2 x - 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Schritt 1.4.3.2

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $10$ .

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Schritt 1.4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{- 2 x - 45}{5 + \frac{x}{10}}$ mit $\frac{10}{10}$ .

$y = \frac{10}{10} \cdot \frac{- 2 x - 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Schritt 1.4.3.2.2

Kombinieren.

$y = \frac{10 (- 2 x - 45)}{10 (5 + \frac{x}{10})}$

Schritt 1.4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + 10 \frac{x}{10}}$

Schritt 1.4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 1.4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + 10 \frac{x}{10}}$

Schritt 1.4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + x}$

Schritt 1.4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.3.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $10$ .

$y = \frac{- 20 x + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + x}$

Schritt 1.4.3.5.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 45$ .

$y = \frac{- 20 x - 450}{10 \cdot 5 + x}$

Schritt 1.4.3.5.3

Faktorisiere $10$ aus $- 20 x - 450$ heraus.

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Schritt 1.4.3.5.3.1

Faktorisiere $10$ aus $- 20 x$ heraus.

$y = \frac{10 (- 2 x) - 450}{10 \cdot 5 + x}$

Schritt 1.4.3.5.3.2

Faktorisiere $10$ aus $- 450$ heraus.

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 (- 45)}{10 \cdot 5 + x}$

Schritt 1.4.3.5.3.3

Faktorisiere $10$ aus $10 (- 2 x) + 10 (- 45)$ heraus.

$y = \frac{10 (- 2 x - 45)}{10 \cdot 5 + x}$

Schritt 1.4.3.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.4.3.6.1

Mutltipliziere $10$ mit $5$ .

$y = \frac{10 (- 2 x - 45)}{50 + x}$

Schritt 1.4.3.6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y = \frac{10 (- (2 x) - 45)}{50 + x}$

Schritt 1.4.3.6.3

Schreibe $- 45$ als $- 1 (45)$ um.

$y = \frac{10 (- (2 x) - 1 (45))}{50 + x}$

Schritt 1.4.3.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (45)$ heraus.

$y = \frac{10 (- (2 x + 45))}{50 + x}$

Schritt 1.4.3.6.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.3.6.5.1

Schreibe $- (2 x + 45)$ als $- 1 (2 x + 45)$ um.

$y = \frac{10 (- 1 (2 x + 45))}{50 + x}$

Schritt 1.4.3.6.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{10 (2 x + 45)}{50 + x}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{10 (2 x + 45)}{50 + x}$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 45}{50 + x}]$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 45}{50 + x}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x + 45$ und $g (x) = 50 + x$ .

$- 10 \frac{(50 + x) \frac{d}{d x} [2 x + 45] - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 45$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [45]$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (2 + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5

Da $45$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $45$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (2 + 0) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.3.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$- 10 \frac{(50 + x) \cdot 2 - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $50 + x$ .

$- 10 \frac{2 \cdot (50 + x) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $50 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x])}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.8

Da $50$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $50$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) \cdot 1}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.3.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.11.2

Kombiniere $- 10$ und $\frac{2 (50 + x) - (2 x + 45)}{{(50 + x)}^{2}}$ .

$\frac{- 10 (2 (50 + x) - (2 x + 45))}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.11.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10 (2 (50 + x) - (2 x + 45))}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{10 (2 \cdot 50 + 2 x - (2 x + 45))}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{10 (2 \cdot 50 + 2 x - (2 x) - 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{10 (2 \cdot 50) + 10 (2 x) + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.4.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.4.4.1.1

Multipliziere $10 (2 \cdot 50)$ .

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Schritt 2.1.4.4.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $50$ .

$- \frac{10 \cdot 100 + 10 (2 x) + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.4.1.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $100$ .

$- \frac{1000 + 10 (2 x) + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$- \frac{1000 + 20 x + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1000 + 20 x + 10 (- 2 x) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.4.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $10$ .

$- \frac{1000 + 20 x - 20 x + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.4.1.5

Multipliziere $10 (- 1 \cdot 45)$ .

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Schritt 2.1.4.4.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $45$ .

$- \frac{1000 + 20 x - 20 x + 10 \cdot - 45}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.4.1.5.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 45$ .

$- \frac{1000 + 20 x - 20 x - 450}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1000 + 20 x - 20 x - 450$ .

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Schritt 2.1.4.4.2.1

Subtrahiere $20 x$ von $20 x$ .

$- \frac{1000 + 0 - 450}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.4.2.2

Addiere $1000$ und $0$ .

$- \frac{1000 - 450}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.4.3

Subtrahiere $450$ von $1000$ .

$f' (x) = - \frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$ .

$- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$550 = 0$

Schritt 3.3

Da $550 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 4

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(50 + x)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $50 + x$ gleich $0$ .

$50 + x = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $50$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 50$

Schritt 5

Werte $- \frac{10 (2 x + 45)}{50 + x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Berechne bei $x = - 50$ .

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Schritt 5.1.1

Ersetze $x$ durch $- 50$ .

$- \frac{10 (2 (- 50) + 45)}{50 - 50}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache.

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Schritt 5.1.2.1

Entferne die Klammern.

$- \frac{10 (2 (- 50) + 45)}{50 - 50}$

Schritt 5.1.2.2

Subtrahiere $50$ von $50$ .

$- \frac{10 (2 (- 50) + 45)}{0}$

Schritt 5.1.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 6

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden