Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{3} - 8}{x - 2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3} - 8$ und $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} - 8] - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2}) - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x - 2$ .

$\frac{3 \cdot (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 x + 3 \cdot - 2) x^{2} - (x^{3} - 8)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 2 x^{2} - (x^{3} - 8)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.4.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.1.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.1.3.4.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - x^{3} + 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.2

Subtrahiere $x^{3}$ von $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 6 x^{2} + 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} - 6 x^{2} + 8$ heraus.

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Schritt 1.1.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (x^{3}) - 6 x^{2} + 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.3

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} + 2 (- 3 x^{2})$ heraus.

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2}) + 2 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{3} - 3 x^{2}) + 2 \cdot 4$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ durch $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 2.3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.3.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 2.3.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 2.3.2.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Schritt 2.3.2.1.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 1 - 3 + 4$

Schritt 2.3.2.1.3.5

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$- 4 + 4$

Schritt 2.3.2.1.3.6

Addiere $- 4$ und $4$ .

$0$

Schritt 2.3.2.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4}{x + 1}$

Schritt 2.3.2.1.5

Dividiere $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ durch $x + 1$ .

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Schritt 2.3.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$4$

Schritt 2.3.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

Schritt 2.3.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 2.3.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 2.3.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 2.3.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 2.3.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Schritt 2.3.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Schritt 2.3.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Schritt 2.3.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	+	$4$

Schritt 2.3.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x + 4$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$

Schritt 2.3.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$
										$0$

Schritt 2.3.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 4 x + 4$

Schritt 2.3.2.1.6

Schreibe $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Schritt 2.3.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.3.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x + 1) (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Schritt 2.3.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 2.3.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$(x + 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 2.3.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$(x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 2.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 2.3.4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.3.5

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.5.1

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 2.3.5.2

Löse ${(x - 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.5.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.3.5.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 2$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4

Werte $\frac{x^{3} - 8}{x - 2}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} - 8}{(- 1) - 2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 1 - 8}{- 1 - 2}$

Schritt 4.1.2.1.2

Subtrahiere $8$ von $- 1$ .

$\frac{- 9}{- 1 - 2}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$\frac{- 9}{- 3}$

Schritt 4.1.2.2.2

Dividiere $- 9$ durch $- 3$ .

$3$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$\frac{{(2)}^{3} - 8}{(2) - 2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{{(2)}^{3} - 8}{0}$

Schritt 4.2.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(- 1, 3)$

Schritt 5