Analysis Beispiele

$y = x^{2} - 8 \ln (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 8 \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 8 \frac{1}{x}$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{x}$ .

$2 x + \frac{- 8}{x}$

Schritt 1.1.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 2 x - \frac{8}{x}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x - \frac{8}{x}$ .

$2 x - \frac{8}{x}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x - \frac{8}{x} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x - \frac{8}{x} = 0$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x, 1$

Schritt 2.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{8}{x} = 0$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{8}{x} = 0$ mit $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{8}{x} x = 0 x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{8}{x} x = 0 x$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} - \frac{8}{x} x = 0 x$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8}{x}$ in den Zähler.

$2 x^{2} + \frac{- 8}{x} x = 0 x$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} + \frac{- 8}{x} x = 0 x$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} - 8 = 0 x$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$2 x^{2} - 8 = 0$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = 8$

Schritt 2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 8$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 8$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{8}{2}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.3.1

Dividiere $8$ durch $2$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 2.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 2.4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 2.4.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.4.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 2.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 2.4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 2.4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{8}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 4

Werte $x^{2} - 8 \ln (x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

${(2)}^{2} - 8 \ln (2)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 - 8 \ln (2)$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache $- 8 \ln (2)$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$4 - \ln (2^{8})$

Schritt 4.1.2.3

Potenziere $2$ mit $8$ .

$4 - \ln (256)$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

${(- 2)}^{2} - 8 \ln (- 2)$

Schritt 4.2.2

Der natürliche Logarithmus einer negativen Zahl ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{2} - 8 \ln (0)$

Schritt 4.3.2

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(2, 4 - \ln (256))$

Schritt 5