Analysis Beispiele

$x {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{\frac{2}{3}}] + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = 5 - x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$x (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 - x$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.7.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(5 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$x (\frac{2 {(5 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.7.3

Bringe ${(5 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{2}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.7.4

Kombiniere $\frac{2}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [5 - x] + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.9

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (- 1 \cdot 1) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1 + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.13.2

Kombiniere $\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ und $- 1$ .

$\frac{2 x \cdot - 1}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.13.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.13.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.13.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1$

Schritt 1.1.15

Mutltipliziere ${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ mit $1$ .

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.1.16

Um ${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.17

Kombiniere ${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ und $\frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(5 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.19

Multipliziere ${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.19.1

Bewege ${(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{1}{3}} {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.19.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.19.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{1 + 2}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.19.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.19.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{1} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.20

Vereinfache ${(5 - x)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{- 2 x + (5 - x) \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.21

Bringe $3$ auf die linke Seite von $5 - x$ .

$\frac{- 2 x + 3 \cdot (5 - x)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.22

Vereinfache.

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Schritt 1.1.22.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x + 3 \cdot 5 + 3 (- x)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.22.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.22.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.22.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{- 2 x + 15 + 3 (- x)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.22.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 2 x + 15 - 3 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.22.2.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 2 x$ .

$\frac{- 5 x + 15}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.22.3

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x + 15$ heraus.

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Schritt 1.1.22.3.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{5 (- x) + 15}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.22.3.2

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$\frac{5 (- x) + 5 (3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.22.3.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (- x) + 5 (3)$ heraus.

$\frac{5 (- x + 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.22.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{5 (- (x) + 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.22.5

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{5 (- (x) - 1 (- 3))}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.22.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{5 (- (x - 3))}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.22.7

Schreibe $- (x - 3)$ als $- 1 (x - 3)$ um.

$\frac{5 (- 1 (x - 3))}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.22.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$5 (x - 3) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 (x - 3) = 0$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $5 (x - 3) = 0$ durch $5$ .

$\frac{5 (x - 3)}{5} = \frac{0}{5}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (x - 3)}{5} = \frac{0}{5}$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Dividiere $x - 3$ durch $1$ .

$x - 3 = \frac{0}{5}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $5$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{5 (x - 3)}{3 \sqrt[3]{{(5 - x)}^{1}}}$

Schritt 3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- \frac{5 (x - 3)}{3 \sqrt[3]{5 - x}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{5 (x - 3)}{3 \sqrt[3]{5 - x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{5 - x} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{5 - x})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{5 - x}$ als ${(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ an.

$3^{3} {({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(5 - x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 {(5 - x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 {(5 - x)}^{1} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$27 (5 - x) = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$27 \cdot 5 + 27 (- x) = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 3.3.2.2.1.6.1

Mutltipliziere $27$ mit $5$ .

$135 + 27 (- x) = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$135 - 27 x = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$135 - 27 x = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Subtrahiere $135$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 27 x = - 135$

Schritt 3.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 27 x = - 135$ durch $- 27$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 27 x = - 135$ durch $- 27$ .

$\frac{- 27 x}{- 27} = \frac{- 135}{- 27}$

Schritt 3.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 27$ .

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Schritt 3.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 27 x}{- 27} = \frac{- 135}{- 27}$

Schritt 3.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 135}{- 27}$

Schritt 3.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.2.3.1

Dividiere $- 135$ durch $- 27$ .

$x = 5$

Schritt 4

Werte $x {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$(3) {(5 - (3))}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 {(5 - 3)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 5$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $5$ .

$(5) {(5 - (5))}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$5 {(5 - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$5 \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2.1.3

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$5 \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 4.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$5 \cdot 0^{2}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(3, 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}), (5, 0)$

Schritt 5