Analysis Beispiele

$f (x) = x - 3 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 1.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 1.1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 1.1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - 3 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 1.1.2.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 - 3 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.2.9

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.2.10

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.2.11

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.2.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.12.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 1.1.2.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.2.12.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = - 1$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{\frac{2}{3}}, 1$

Schritt 2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = - 1$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = - 1$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{2}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- x^{\frac{2}{3}} = - 1$ um.

$- x^{\frac{2}{3}} = - 1$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{\frac{2}{3}} = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{\frac{2}{3}} = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{\frac{2}{3}}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2

Dividiere $x^{\frac{2}{3}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 1$

Schritt 2.5.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.5.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.5.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.5.4.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.5.4.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.5.4.1.1.2

Vereinfache.

$x = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \pm 1$

Schritt 2.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 2.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 2.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$1 - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.3.3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.3.3.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Werte $x - 3 x^{\frac{1}{3}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne bei $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$(1) - 3 {(1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 3 \cdot 1$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$1 - 3$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- 2$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$(- 1) - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$- 1 - 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 4.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 4.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 - 3 {(- 1)}^{1}$

Schritt 4.2.2.1.4

Berechne den Exponenten.

$- 1 - 3 \cdot - 1$

Schritt 4.2.2.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- 1 + 3$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $- 1$ und $3$ .

$2$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$(0) - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$0 - 3 {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.3.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 3 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 4.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - 3 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 4.3.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$0 - 3 \cdot 0^{1}$

Schritt 4.3.2.1.4

Berechne den Exponenten.

$0 - 3 \cdot 0$

Schritt 4.3.2.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$0 + 0$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(1, - 2), (- 1, 2), (0, 0)$

Schritt 5