Analysis Beispiele

$f (x) = x \sqrt{6 x + 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 x + 1}$ als ${(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 6 x + 1$ .

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Schritt 1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 x + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x + 1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x + 1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $6 x + 1$ .

$x (\frac{1}{2} {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x + 1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{2} {(6 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(6 x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(6 x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{2} {(6 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(6 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(6 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x + 1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.8.3

Bringe ${(6 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x + 1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x + 1] + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.10

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.12

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{x}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [1]) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.13

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (6 + 0) + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.14

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.14.1

Addiere $6$ und $0$ .

$\frac{x}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 6 + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.14.2

Kombiniere $\frac{x}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $6$ .

$\frac{x \cdot 6}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.14.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{6 \cdot x}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.14.4

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{2 (3 x)}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.15

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.15.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (3 x)}{2 ({(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}})} + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x)}{2 {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.15.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 x}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 1.1.17

Mutltipliziere ${(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{3 x}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.18

Um ${(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.20

Multipliziere ${(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.20.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x + {(6 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.20.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x + {(6 x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.20.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 x + {(6 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.20.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{3 x + {(6 x + 1)}^{1}}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.21

Vereinfache ${(6 x + 1)}^{1}$ .

$\frac{3 x + 6 x + 1}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.22

Addiere $3 x$ und $6 x$ .

$f' (x) = \frac{9 x + 1}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{9 x + 1}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{9 x + 1}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{9 x + 1}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{9 x + 1}{{(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$9 x + 1 = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x = - 1$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $9 x = - 1$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x = - 1$ durch $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{9}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{9}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{9 x + 1}{\sqrt{{(6 x + 1)}^{1}}}$

Schritt 3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{9 x + 1}{\sqrt{6 x + 1}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{9 x + 1}{\sqrt{6 x + 1}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{6 x + 1} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{6 x + 1}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 x + 1}$ als ${(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${({(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(6 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(6 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(6 x + 1)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$6 x + 1 = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$6 x + 1 = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = - 1$

Schritt 3.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = - 1$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = - 1$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 1}{6}$

Schritt 3.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 1}{6}$

Schritt 3.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{6}$

Schritt 3.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{6}$

Schritt 3.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{6 x + 1}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$6 x + 1 < 0$

Schritt 3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$6 x < - 1$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x < - 1$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x < - 1$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} < \frac{- 1}{6}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} < \frac{- 1}{6}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{- 1}{6}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x < - \frac{1}{6}$

Schritt 3.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq - \frac{1}{6}$

$(- \infty, - \frac{1}{6}]$

$x \leq - \frac{1}{6}$

$(- \infty, - \frac{1}{6}]$

Schritt 4

Werte $x \sqrt{6 x + 1}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - \frac{1}{9}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{1}{9}$ .

$(- \frac{1}{9}) \sqrt{6 (- \frac{1}{9}) + 1}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{9}$ in den Zähler.

$- \frac{1}{9} \sqrt{6 (\frac{- 1}{9}) + 1}$

Schritt 4.1.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$- \frac{1}{9} \sqrt{3 (2) \frac{- 1}{9} + 1}$

Schritt 4.1.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$- \frac{1}{9} \sqrt{3 \cdot 2 \frac{- 1}{3 \cdot 3} + 1}$

Schritt 4.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{9} \sqrt{3 \cdot 2 \frac{- 1}{3 \cdot 3} + 1}$

Schritt 4.1.2.1.5

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{9} \sqrt{2 (\frac{- 1}{3}) + 1}$

Schritt 4.1.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{- 1}{3}$ .

$- \frac{1}{9} \sqrt{\frac{2 \cdot - 1}{3} + 1}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{9} \sqrt{\frac{- 2}{3} + 1}$

Schritt 4.1.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{9} \sqrt{- \frac{2}{3} + 1}$

Schritt 4.1.2.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{9} \sqrt{- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}}$

Schritt 4.1.2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{9} \sqrt{\frac{- 2 + 3}{3}}$

Schritt 4.1.2.3.5

Addiere $- 2$ und $3$ .

$- \frac{1}{9} \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.1.2.4

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.1.2.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.1.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{1}{9} (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 4.1.2.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.1.2.7.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 4.1.2.7.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 4.1.2.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.1.2.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.1.2.7.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.1.2.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.1.2.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.1.2.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.1.2.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 4.1.2.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.1.2.8

Multipliziere $- \frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 4.1.2.8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 9}$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{27}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - \frac{1}{6}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{1}{6}$ .

$(- \frac{1}{6}) \sqrt{6 (- \frac{1}{6}) + 1}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{6}$ in den Zähler.

$- \frac{1}{6} \sqrt{6 (\frac{- 1}{6}) + 1}$

Schritt 4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{6} \sqrt{6 (\frac{- 1}{6}) + 1}$

Schritt 4.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{6} \sqrt{- 1 + 1}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$- \frac{1}{6} \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2.2.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$- \frac{1}{6} \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{1}{6} \cdot 0$

Schritt 4.2.2.3

Multipliziere $- \frac{1}{6} \cdot 0$ .

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Schritt 4.2.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 (\frac{1}{6})$

Schritt 4.2.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{6}$ .

$0$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(- \frac{1}{9}, - \frac{\sqrt{3}}{27}), (- \frac{1}{6}, 0)$

Schritt 5