Analysis Beispiele

$f (x) = x \sqrt{64 - x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{64 - x^{2}}$ als ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 64 - x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $64 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (64 - x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (64 - x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $64 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (64 - x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (64 - x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (64 - x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(64 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (64 - x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(64 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (64 - x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(64 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (64 - x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (64 - x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (64 - x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8.3

Bringe ${(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (64 - x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (64 - x^{2}) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $64 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (64) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.10

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $64$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.14

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.14.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.14.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.14.3

Kombiniere $\frac{- 2 x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.16

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.18

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.19

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.20

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.20.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.20.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.20.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.22

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 1.1.23

Mutltipliziere ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.24

Um ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.26

Multipliziere ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.26.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.26.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.26.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.26.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 64 - x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.27

Vereinfache ${(64 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 64 - x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.28

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.29

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 64}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$- 2 x^{2} + 64 = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} = - 64$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = - 64$ durch $- 2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = - 64$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 64}{- 2}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 64}{- 2}$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 64}{- 2}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.3.1

Dividiere $- 64$ durch $- 2$ .

$x^{2} = 32$

Schritt 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{32}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{32}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \pm \sqrt{16 (2)}$

Schritt 2.3.4.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 4 \sqrt{2}$

Schritt 2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4 \sqrt{2}$

Schritt 2.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4 \sqrt{2}$

Schritt 2.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4 \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{- 2 x^{2} + 64}{\sqrt{{(- x^{2} + 64)}^{1}}}$

Schritt 3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{- 2 x^{2} + 64}{\sqrt{- x^{2} + 64}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{- 2 x^{2} + 64}{\sqrt{- x^{2} + 64}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{- x^{2} + 64} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{- x^{2} + 64}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- x^{2} + 64}$ als ${(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${({(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- x^{2} + 64)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$- x^{2} + 64 = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- x^{2} + 64 = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 64$

Schritt 3.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 64$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 64$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 64}{- 1}$

Schritt 3.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 64}{- 1}$

Schritt 3.3.3.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 64}{- 1}$

Schritt 3.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.3.1

Dividiere $- 64$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 64$

Schritt 3.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{64}$

Schritt 3.3.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{64}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.4.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Schritt 3.3.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 8$

Schritt 3.3.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 8$

Schritt 3.3.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 8$

Schritt 3.3.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 8, - 8$

Schritt 3.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{- x^{2} + 64}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- x^{2} + 64 < 0$

Schritt 3.5

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} < - 64$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} < - 64$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} < - 64$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 64}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 64}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} > \frac{- 64}{- 1}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.3.1

Dividiere $- 64$ durch $- 1$ .

$x^{2} > 64$

Schritt 3.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{64}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > \sqrt{64}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{64}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.2.1.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$| x | > \sqrt{8^{2}}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > | 8 |$

Schritt 3.5.4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $8$ ist $8$ .

$| x | > 8$

Schritt 3.5.5

Schreibe $| x | > 8$ als abschnittsweise Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 3.5.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x > 8$

Schritt 3.5.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 3.5.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x > 8$

Schritt 3.5.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x > 8 & x \geq 0 \\ - x > 8 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 3.5.6

Bestimme die Schnittmenge von $x > 8$ und $x \geq 0$ .

$x > 8$

Schritt 3.5.7

Teile jeden Ausdruck in $- x > 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.7.1

Teile jeden Term in $- x > 8$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{8}{- 1}$

Schritt 3.5.7.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{8}{- 1}$

Schritt 3.5.7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{8}{- 1}$

Schritt 3.5.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.7.3.1

Dividiere $8$ durch $- 1$ .

$x < - 8$

Schritt 3.5.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < - 8$ oder $x > 8$

Schritt 3.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq - 8, x \geq 8$

$(- \infty, - 8] \cup [8, \infty)$

$x \leq - 8, x \geq 8$

$(- \infty, - 8] \cup [8, \infty)$

Schritt 4

Werte $x \sqrt{64 - x^{2}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne bei $x = 4 \sqrt{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $4 \sqrt{2}$ .

$(4 \sqrt{2}) \sqrt{64 - {(4 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $4 \sqrt{2}$ an.

$4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (4^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 {\sqrt{2}}^{2})}$

Schritt 4.1.2.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Schritt 4.1.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Schritt 4.1.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 4.1.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 4.1.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 \cdot 2^{1})}$

Schritt 4.1.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 \cdot 2)}$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- (16 \cdot 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$4 \sqrt{2} \sqrt{64 - 1 \cdot 32}$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$4 \sqrt{2} \sqrt{64 - 32}$

Schritt 4.1.2.4

Subtrahiere $32$ von $64$ .

$4 \sqrt{2} \sqrt{32}$

Schritt 4.1.2.5

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.5.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$4 \sqrt{2} \sqrt{16 (2)}$

Schritt 4.1.2.5.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$4 \sqrt{2} \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2})$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere $4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$16 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Schritt 4.1.2.7.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$16 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Schritt 4.1.2.7.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$16 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Schritt 4.1.2.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Schritt 4.1.2.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$16 {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 4.1.2.8

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 4.1.2.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 4.1.2.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 4.1.2.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$16 \cdot 2^{1}$

Schritt 4.1.2.8.5

Berechne den Exponenten.

$16 \cdot 2$

Schritt 4.1.2.9

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$32$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 4 \sqrt{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 4 \sqrt{2}$ .

$(- 4 \sqrt{2}) \sqrt{64 - {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 4 \sqrt{2}$ an.

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{64 - ({(- 4)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Schritt 4.2.2.1.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 {\sqrt{2}}^{2})}$

Schritt 4.2.2.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Schritt 4.2.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Schritt 4.2.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 4.2.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 4.2.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 \cdot 2^{1})}$

Schritt 4.2.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{64 - (16 \cdot 2)}$

Schritt 4.2.2.3

Multipliziere $- (16 \cdot 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.3.1

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{64 - 1 \cdot 32}$

Schritt 4.2.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{64 - 32}$

Schritt 4.2.2.4

Subtrahiere $32$ von $64$ .

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{32}$

Schritt 4.2.2.5

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.5.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{16 (2)}$

Schritt 4.2.2.5.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- 4 \sqrt{2} \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Schritt 4.2.2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- 4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2})$

Schritt 4.2.2.7

Multipliziere $- 4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$- 16 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Schritt 4.2.2.7.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- 16 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Schritt 4.2.2.7.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- 16 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Schritt 4.2.2.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 16 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Schritt 4.2.2.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- 16 {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 4.2.2.8

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 4.2.2.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 4.2.2.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 4.2.2.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 4.2.2.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 16 \cdot 2^{1}$

Schritt 4.2.2.8.5

Berechne den Exponenten.

$- 16 \cdot 2$

Schritt 4.2.2.9

Mutltipliziere $- 16$ mit $2$ .

$- 32$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = - 8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $- 8$ .

$(- 8) \sqrt{64 - {(- 8)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$- 8 \sqrt{64 - 1 \cdot 64}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$- 8 \sqrt{64 - 64}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $64$ von $64$ .

$- 8 \sqrt{0}$

Schritt 4.3.2.4

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$- 8 \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.3.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- 8 \cdot 0$

Schritt 4.3.2.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$0$

Schritt 4.4

Berechne bei $x = 8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Ersetze $x$ durch $8$ .

$(8) \sqrt{64 - {(8)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$8 \sqrt{64 - 1 \cdot 64}$

Schritt 4.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$8 \sqrt{64 - 64}$

Schritt 4.4.2.3

Subtrahiere $64$ von $64$ .

$8 \sqrt{0}$

Schritt 4.4.2.4

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$8 \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.4.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$8 \cdot 0$

Schritt 4.4.2.6

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$0$

Schritt 4.5

Liste all Punkte auf.

$(4 \sqrt{2}, 32), (- 4 \sqrt{2}, - 32), (- 8, 0), (8, 0)$

Schritt 5