Analysis Beispiele

$y = 3 x^{2} - 10 x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 10 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 10 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x - 10 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$f' (x) = 6 x - 10$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x - 10$ .

$6 x - 10$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x - 10 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$6 x - 10 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = 10$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 10$ durch $6$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 10$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{10}{6}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{10}{6}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{10}{6}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$x = \frac{2 (5)}{6}$

Schritt 2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5}{3}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $3 x^{2} - 10 x$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{5}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{5}{3}$ .

$3 {(\frac{5}{3})}^{2} - 10 (\frac{5}{3})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{3}$ an.

$3 \frac{5^{2}}{3^{2}} - 10 (\frac{5}{3})$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$3 \frac{25}{3^{2}} - 10 (\frac{5}{3})$

Schritt 4.1.2.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$3 (\frac{25}{9}) - 10 (\frac{5}{3})$

Schritt 4.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$3 \frac{25}{3 (3)} - 10 (\frac{5}{3})$

Schritt 4.1.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{25}{3 \cdot 3} - 10 (\frac{5}{3})$

Schritt 4.1.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{25}{3} - 10 (\frac{5}{3})$

Schritt 4.1.2.1.5

Multipliziere $- 10 (\frac{5}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.5.1

Kombiniere $- 10$ und $\frac{5}{3}$ .

$\frac{25}{3} + \frac{- 10 \cdot 5}{3}$

Schritt 4.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $5$ .

$\frac{25}{3} + \frac{- 50}{3}$

Schritt 4.1.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{25}{3} - \frac{50}{3}$

Schritt 4.1.2.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{25 - 50}{3}$

Schritt 4.1.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.2.1

Subtrahiere $50$ von $25$ .

$\frac{- 25}{3}$

Schritt 4.1.2.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{25}{3}$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(\frac{5}{3}, - \frac{25}{3})$

Schritt 5