Analysis Beispiele

$y = 2 x - \tan (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \tan (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 1.1.3.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 2 - \sec^{2} (x)$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 - \sec^{2} (x)$ .

$2 - \sec^{2} (x)$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 - \sec^{2} (x) = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 - \sec^{2} (x) = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sec^{2} (x) = - 2$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- \sec^{2} (x) = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sec^{2} (x) = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sec^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sec^{2} (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.3.2.2

Dividiere $\sec^{2} (x)$ durch $1$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$\sec^{2} (x) = 2$

Schritt 2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Schritt 2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Schritt 2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Schritt 2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 2.6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Schritt 2.7

Löse in $\sec (x) = \sqrt{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Schritt 2.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.2.1

Der genau Wert von $arcsec (\sqrt{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 2.7.3

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Schritt 2.7.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 2.7.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.7.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.7.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 2.7.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Schritt 2.7.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 2.7.5

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 2.7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.7.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.7.6

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.8

Löse in $\sec (x) = - \sqrt{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.8.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Schritt 2.8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.8.2.1

Der genau Wert von $arcsec (- \sqrt{2})$ ist $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.8.3

Die Sekans-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadraten zu ermitteln.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.8.4

Vereinfache $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 2.8.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.8.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.8.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.8.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Schritt 2.8.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Schritt 2.8.4.3.2

Subtrahiere $3 π$ von $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 2.8.5

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 2.8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.8.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.8.6

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.9

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\sec (x)$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.2

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Werte $2 x - \tan (x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{π}{4}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{π}{4}$ .

$2 (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \frac{π}{2 (2)} - \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 4.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 4.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 4.1.2.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{π}{2} - 1$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{3 π}{4}$ .

$2 (\frac{3 π}{4}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \frac{3 π}{2 (2)} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{3 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 4.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 π}{2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Schritt 4.2.2.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{3 π}{2} - - \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 4.2.2.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{3 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Schritt 4.2.2.4

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 4.2.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 π}{2} - - 1$

Schritt 4.2.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3 π}{2} + 1$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $\frac{5 π}{4}$ .

$2 (\frac{5 π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 4.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \frac{5 π}{2 (2)} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 4.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{5 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 4.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 π}{2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Schritt 4.3.2.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{5 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 4.3.2.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{5 π}{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 4.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{5 π}{2} - 1$

Schritt 4.4

Berechne bei $x = \frac{7 π}{4}$ .

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Schritt 4.4.1

Ersetze $x$ durch $\frac{7 π}{4}$ .

$2 (\frac{7 π}{4}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 4.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \frac{7 π}{2 (2)} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 4.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{7 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 4.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7 π}{2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 4.4.2.2

$\frac{7 π}{2} - - \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 4.4.2.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{7 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Schritt 4.4.2.4

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{7 π}{2} - - 1$

Schritt 4.4.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{7 π}{2} + 1$

Schritt 4.5

Berechne bei $x = \frac{9 π}{4}$ .

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Schritt 4.5.1

Ersetze $x$ durch $\frac{9 π}{4}$ .

$2 (\frac{9 π}{4}) - \tan (\frac{9 π}{4})$

Schritt 4.5.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \frac{9 π}{2 (2)} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Schritt 4.5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{9 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Schritt 4.5.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 π}{2} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Schritt 4.5.2.2

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{9 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 4.5.2.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{9 π}{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 4.5.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{9 π}{2} - 1$

Schritt 4.6

Liste all Punkte auf.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{2} - 1), (\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2} + 1), (\frac{5 π}{4}, \frac{5 π}{2} - 1), (\frac{7 π}{4}, \frac{7 π}{2} + 1), (\frac{9 π}{4}, \frac{9 π}{2} - 1)$

Schritt 5