Analysis Beispiele

$y = x - 4 \ln (3 x - 9)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4 \ln (3 x - 9)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \ln (3 x - 9)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x - 9$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Schritt 1.1.2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Schritt 1.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Schritt 1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Schritt 1.1.2.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Schritt 1.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Schritt 1.1.2.6

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Schritt 1.1.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Schritt 1.1.2.8

Addiere $3$ und $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Schritt 1.1.2.9

Kombiniere $\frac{1}{3 x - 9}$ und $3$ .

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 9}$

Schritt 1.1.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $3 x - 9$ .

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Schritt 1.1.2.10.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Schritt 1.1.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Schritt 1.1.2.10.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Schritt 1.1.2.10.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (- 3)$ heraus.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Schritt 1.1.2.10.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Schritt 1.1.2.10.2.5

Forme den Ausdruck um.

$1 - 4 \frac{1}{x - 3}$

Schritt 1.1.2.11

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 4}{x - 3}$

Schritt 1.1.2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{4}{x - 3}$

Schritt 1.1.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4}{x - 3}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 3 - 4}{x - 3}$

Schritt 1.1.3.3

Subtrahiere $4$ von $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 7}{x - 3}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x - 7}{x - 3}$ .

$\frac{x - 7}{x - 3}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x - 7}{x - 3} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x - 7}{x - 3} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x - 7 = 0$

Schritt 2.3

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 7}{x - 3}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 3 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4

Werte $x - 4 \ln (3 x - 9)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 7$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $7$ .

$(7) - 4 \ln (3 (7) - 9)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$7 - 4 \ln (21 - 9)$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $9$ von $21$ .

$7 - 4 \ln (12)$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache $- 4 \ln (12)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$7 - \ln (12^{4})$

Schritt 4.1.2.4

Potenziere $12$ mit $4$ .

$7 - \ln (20736)$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$(3) - 4 \ln (3 (3) - 9)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$3 - 4 \ln (9 - 9)$

Schritt 4.2.2.1.2

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$3 - 4 \ln (0)$

Schritt 4.2.2.1.3

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

$3 - 4 \ln (0)$

Schritt 4.2.2.2

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(7, 7 - \ln (20736))$

Schritt 5