Analysis Beispiele

$y = x {(6 - 2 x)}^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe ${(6 - 2 x)}^{2}$ als $(6 - 2 x) (6 - 2 x)$ um.

$\frac{d}{d x} [x ((6 - 2 x) (6 - 2 x))]$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(6 - 2 x) (6 - 2 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (6 (6 - 2 x) - 2 x (6 - 2 x))]$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (6 \cdot 6 + 6 (- 2 x) - 2 x (6 - 2 x))]$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (6 \cdot 6 + 6 (- 2 x) - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 + 6 (- 2 x) - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

Schritt 1.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

Schritt 1.1.3.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 x (- 2 x))]$

Schritt 1.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Schritt 1.1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Schritt 1.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Schritt 1.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x + 4 x^{2})]$

Schritt 1.1.3.2

Subtrahiere $12 x$ von $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 24 x + 4 x^{2})]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 36 - 24 x + 4 x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [36 - 24 x + 4 x^{2}] + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5

Differenziere.

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Schritt 1.1.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $36 - 24 x + 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5.2

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5.4

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 x$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5.6

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$x (- 24 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- 24 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (- 24 + 4 (2 x)) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5.9

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x (- 24 + 8 x) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- 24 + 8 x) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \cdot 1$

Schritt 1.1.5.11

Mutltipliziere $36 - 24 x + 4 x^{2}$ mit $1$ .

$x (- 24 + 8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot - 24 + x (8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Schritt 1.1.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.6.2.1

Bringe $- 24$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 24 \cdot x + x (8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Schritt 1.1.6.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 24 x + 8 (x^{1} x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Schritt 1.1.6.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 24 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Schritt 1.1.6.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 24 x + 8 x^{1 + 1} + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Schritt 1.1.6.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- 24 x + 8 x^{2} + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Schritt 1.1.6.2.6

Subtrahiere $24 x$ von $- 24 x$ .

$- 48 x + 8 x^{2} + 36 + 4 x^{2}$

Schritt 1.1.6.2.7

Addiere $8 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$- 48 x + 12 x^{2} + 36$

Schritt 1.1.6.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} - 48 x + 36$ .

$12 x^{2} - 48 x + 36$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{2} - 48 x + 36$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$12 (x^{2}) - 48 x + 36 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $12$ aus $- 48 x$ heraus.

$12 (x^{2}) + 12 (- 4 x) + 36 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $12$ aus $36$ heraus.

$12 x^{2} + 12 (- 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{2} + 12 (- 4 x)$ heraus.

$12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $12$ aus $12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3$ heraus.

$12 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 4 x + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 3, - 1$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$12 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$12 (x - 3) (x - 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 (x - 3) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 3, 1$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $x {(6 - 2 x)}^{2}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$(3) {(6 - 2 \cdot 3)}^{2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$3 {(6 - 6)}^{2}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$3 \cdot 0^{2}$

Schritt 4.1.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 \cdot 0$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$(1) {(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere ${(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$ mit $1$ .

${(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

${(6 - 2)}^{2}$

Schritt 4.2.2.3

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$4^{2}$

Schritt 4.2.2.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$16$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(3, 0), (1, 16)$

Schritt 5