Analysis Beispiele

$y = x \ln (x + 3)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x + 3)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x + 3$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 3$ .

$x (\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Kombiniere $\frac{1}{x + 3}$ und $x$ .

$\frac{x}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{x + 3} (1 + 0) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x}{x + 3} \cdot 1 + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.5.2

Mutltipliziere $\frac{x}{x + 3}$ mit $1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \cdot 1$

Schritt 1.1.3.7

Mutltipliziere $\ln (x + 3)$ mit $1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3)$

Schritt 1.1.4

Um $\ln (x + 3)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x}{x + 3} + \frac{\ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + \ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.6.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln (x + 3) \cdot 3}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.1.1.2

Multipliziere $\ln (x + 3) \cdot 3$ .

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Schritt 1.1.6.1.1.2.1

Stelle $\ln (x + 3)$ und $3$ um.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + 3 \cdot \ln (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.1.1.2.2

Vereinfache $3 \cdot \ln (x + 3)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.1.2

Stelle die Faktoren in $x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})$ um.

$\frac{x + x \ln (x + 3) + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ .

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$

Schritt 2.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - 1.14544928$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 3 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3.3

Setze das Argument in $\ln (x + 3)$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 3 \leq 0$

Schritt 3.4

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \leq - 3$

Schritt 3.5

Setze das Argument in $\ln ({(x + 3)}^{3})$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 3)}^{3} \leq 0$

Schritt 3.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[3]{{(x + 3)}^{3}} \leq \sqrt[3]{0}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 3.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0}$

Schritt 3.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 3.6.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 3.6.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x + 3 \leq 0$

Schritt 3.6.3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \leq - 3$

Schritt 3.7

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

Schritt 4

Werte $x \ln (x + 3)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - 1.14544928$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 1.14544928$ .

$(- 1.14544928) \ln ((- 1.14544928) + 3)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Addiere $- 1.14544928$ und $3$ .

$- 1.14544928 \ln (1.85455071)$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache $- 1.14544928 \ln (1.85455071)$ , indem du $1.14544928$ in den Logarithmus ziehst.

$- \ln ({1.85455071}^{1.14544928})$

Schritt 4.1.2.3

Potenziere $1.85455071$ mit $1.14544928$ .

$- \ln (2.02886823)$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 3$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 3$ .

$(- 3) \ln ((- 3) + 3)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$- 3 \ln (0)$

Schritt 4.2.2.2

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(- 1.14544928, - \ln (2.02886823))$

Schritt 5