Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 4$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 1.1.4

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.4.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.4.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0$ .

$0$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = 3 x^{2}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = x^{3} - 4$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (- 1) = 3$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 5.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $3$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 3 {(1)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 3 \cdot 1$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (1) = 3$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 6.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $3$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Schritt 8