Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Schritt 1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Schritt 1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Schritt 1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Schritt 1.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Schritt 1.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Schritt 1.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)$

Schritt 1.1.7.3

Bringe ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)$

Schritt 1.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 1.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 1.1.10

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)$

Schritt 1.1.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 1.1.11.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 2.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 4.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{1}{2 \sqrt{{(x + 1)}^{1}}}$

Schritt 4.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

Schritt 4.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{x + 1} = 0$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x + 1})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.1

Vereinfache ${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x + 1)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 (x + 1) = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 \cdot 1 = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 x + 4 = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 x + 4 = 0$

Schritt 4.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 4$

Schritt 4.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 4$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 4$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Schritt 4.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Schritt 4.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{4}$

Schritt 4.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$x = - 1$

Schritt 4.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 1}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 1 < 0$

Schritt 4.5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x < - 1$

Schritt 4.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq - 1$

$(- \infty, - 1]$

$x \leq - 1$

$(- \infty, - 1]$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \sqrt{x + 1}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{2 {((- 2) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1.1

Addiere $- 2$ und $1$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ um.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Schritt 6.2.1.3

Berechne den Exponenten.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Schritt 6.2.1.4

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 i}$

Schritt 6.2.2

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{1}{2 i}$ mit der Konjugierten von $2 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 i} \cdot \frac{i}{i}$

Schritt 6.2.3

Multipliziere.

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Schritt 6.2.3.1

Kombinieren.

$f' (- 2) = \frac{1 i}{2 i i}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 i i}$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.3.3.1

Füge Klammern hinzu.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 (i i)}$

Schritt 6.2.3.3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 (i i)}$

Schritt 6.2.3.3.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 (i i)}$

Schritt 6.2.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 i^{1 + 1}}$

Schritt 6.2.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 i^{2}}$

Schritt 6.2.3.3.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{- 2}$

Schritt 6.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 2) = - \frac{i}{2}$

Schritt 6.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{i}{2}$ .

$- \frac{i}{2}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $- \frac{i}{2}$ . Da dies eine imaginäre Zahl beinhaltet, existiert die Funktion nicht in $(- \infty, - 1)$ .

Die Funktion ist in $(- \infty, - 1)$ nicht real, da $f' (x)$ imaginär ist

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{2 {((0) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1.1

Addiere $0$ und $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (0) = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 7.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $\frac{1}{2}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 1, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- 1, \infty)$

Schritt 9