Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} {(x + 3)}^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(x + 3)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{3}] + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x + 3$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 3$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 3$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} \cdot 1) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + {(x + 3)}^{3} (2 x)$

Schritt 1.1.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x + 3)}^{3}$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + 2 \cdot {(x + 3)}^{3} x$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Faktorisiere $x {(x + 3)}^{2}$ aus $x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} x$ heraus.

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Schritt 1.1.4.1.1

Faktorisiere $x {(x + 3)}^{2}$ aus $x^{2} (3 {(x + 3)}^{2})$ heraus.

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + 2 {(x + 3)}^{3} x$

Schritt 1.1.4.1.2

Faktorisiere $x {(x + 3)}^{2}$ aus $2 {(x + 3)}^{3} x$ heraus.

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x + 3)}^{2} (2 (x + 3))$

Schritt 1.1.4.1.3

Faktorisiere $x {(x + 3)}^{2}$ aus $x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x + 3)}^{2} (2 (x + 3))$ heraus.

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3) + 2 (x + 3))$

Schritt 1.1.4.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x {(x + 3)}^{2} (3 x + 2 (x + 3))$

Schritt 1.1.4.3

Schreibe ${(x + 3)}^{2}$ als $(x + 3) (x + 3)$ um.

$x ((x + 3) (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

Schritt 1.1.4.4

Multipliziere $(x + 3) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x (x + 3) + 3 (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

Schritt 1.1.4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

Schritt 1.1.4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

Schritt 1.1.4.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.4.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

Schritt 1.1.4.5.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

Schritt 1.1.4.5.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Schritt 1.1.4.5.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$x (x^{2} + 6 x + 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Schritt 1.1.4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Schritt 1.1.4.7

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.7.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.7.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.4.7.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Schritt 1.1.4.7.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x^{1 + 2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Schritt 1.1.4.7.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$(x^{3} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Schritt 1.1.4.7.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(x^{3} + 6 x \cdot x + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Schritt 1.1.4.7.3

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x^{3} + 6 x \cdot x + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

Schritt 1.1.4.8

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.8.1

Bewege $x$ .

$(x^{3} + 6 (x \cdot x) + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

Schritt 1.1.4.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 (x + 3))$

Schritt 1.1.4.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 x + 2 \cdot 3)$

Schritt 1.1.4.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 x + 6)$

Schritt 1.1.4.10

Addiere $3 x$ und $2 x$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (5 x + 6)$

Schritt 1.1.4.11

Multipliziere $(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (5 x + 6)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Schritt 1.1.4.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.12.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{3} x + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Schritt 1.1.4.12.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.12.2.1

Bewege $x$ .

$5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Schritt 1.1.4.12.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 1.1.4.12.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Schritt 1.1.4.12.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Schritt 1.1.4.12.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$5 x^{4} + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Schritt 1.1.4.12.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$5 x^{4} + 6 \cdot x^{3} + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Schritt 1.1.4.12.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Schritt 1.1.4.12.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.12.5.1

Bewege $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Schritt 1.1.4.12.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.4.12.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Schritt 1.1.4.12.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Schritt 1.1.4.12.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Schritt 1.1.4.12.6

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Schritt 1.1.4.12.7

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Schritt 1.1.4.12.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 x \cdot x + 9 x \cdot 6$

Schritt 1.1.4.12.9

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.12.9.1

Bewege $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 (x \cdot x) + 9 x \cdot 6$

Schritt 1.1.4.12.9.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 x^{2} + 9 x \cdot 6$

Schritt 1.1.4.12.10

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 9 x \cdot 6$

Schritt 1.1.4.12.11

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 54 x$

Schritt 1.1.4.13

Addiere $6 x^{3}$ und $30 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 54 x$

Schritt 1.1.4.14

Addiere $36 x^{2}$ und $45 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{4}$ heraus.

$x (5 x^{3}) + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $36 x^{3}$ heraus.

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + 81 x^{2} + 54 x = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $81 x^{2}$ heraus.

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + x (81 x) + 54 x = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $54 x$ heraus.

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + x (81 x) + x \cdot 54 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (5 x^{3}) + x (36 x^{2})$ heraus.

$x (5 x^{3} + 36 x^{2}) + x (81 x) + x \cdot 54 = 0$

Schritt 2.2.1.6

Faktorisiere $x$ aus $x (5 x^{3} + 36 x^{2}) + x (81 x)$ heraus.

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x) + x \cdot 54 = 0$

Schritt 2.2.1.7

Faktorisiere $x$ aus $x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x) + x \cdot 54$ heraus.

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.2.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 5$

Schritt 2.2.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 54, \pm 10.8, \pm 2, \pm 0.4, \pm 27, \pm 5.4, \pm 3, \pm 0.6, \pm 18, \pm 3.6, \pm 6, \pm 1.2, \pm 9, \pm 1.8$

Schritt 2.2.2.3

Setze $- 3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.2.2.3.1

Setze $- 3$ in das Polynom ein.

$5 {(- 3)}^{3} + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

Schritt 2.2.2.3.2

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$5 \cdot - 27 + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

Schritt 2.2.2.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 27$ .

$- 135 + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

Schritt 2.2.2.3.4

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$- 135 + 36 \cdot 9 + 81 \cdot - 3 + 54$

Schritt 2.2.2.3.5

Mutltipliziere $36$ mit $9$ .

$- 135 + 324 + 81 \cdot - 3 + 54$

Schritt 2.2.2.3.6

Addiere $- 135$ und $324$ .

$189 + 81 \cdot - 3 + 54$

Schritt 2.2.2.3.7

Mutltipliziere $81$ mit $- 3$ .

$189 - 243 + 54$

Schritt 2.2.2.3.8

Subtrahiere $243$ von $189$ .

$- 54 + 54$

Schritt 2.2.2.3.9

Addiere $- 54$ und $54$ .

$0$

Schritt 2.2.2.4

Da $- 3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54}{x + 3}$

Schritt 2.2.2.5

Dividiere $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ durch $x + 3$ .

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Schritt 2.2.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$5 x^{3}$

$36 x^{2}$

$81 x$

$54$

Schritt 2.2.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $5 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$

Schritt 2.2.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			+	$5 x^{3}$	+	$15 x^{2}$

Schritt 2.2.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $5 x^{3} + 15 x^{2}$

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

Schritt 2.2.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$

Schritt 2.2.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$

Schritt 2.2.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $21 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$

Schritt 2.2.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$21 x^{2}$	+	$63 x$

Schritt 2.2.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $21 x^{2} + 63 x$

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$

Schritt 2.2.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$

Schritt 2.2.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$

Schritt 2.2.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $18 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$

Schritt 2.2.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							+	$18 x$	+	$54$

Schritt 2.2.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $18 x + 54$

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	-	$54$

Schritt 2.2.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	-	$54$
										$0$

Schritt 2.2.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$5 x^{2} + 21 x + 18$

Schritt 2.2.2.6

Schreibe $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ als eine Menge von Faktoren.

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 21 x + 18)) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.3.1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.3.1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot 18 = 90$ und deren Summe gleich $b = 21$ ist.

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Schritt 2.2.3.1.1.1.1

Faktorisiere $21$ aus $21 x$ heraus.

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 21 (x) + 18)) = 0$

Schritt 2.2.3.1.1.1.2

Schreibe $21$ um als $6$ plus $15$

$x ((x + 3) (5 x^{2} + (6 + 15) x + 18)) = 0$

Schritt 2.2.3.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 6 x + 15 x + 18)) = 0$

Schritt 2.2.3.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.3.1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x ((x + 3) ((5 x^{2} + 6 x) + 15 x + 18)) = 0$

Schritt 2.2.3.1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x ((x + 3) (x (5 x + 6) + 3 (5 x + 6))) = 0$

Schritt 2.2.3.1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x + 6$ .

$x ((x + 3) ((5 x + 6) (x + 3))) = 0$

Schritt 2.2.3.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$x ((x + 3) (5 x + 6) (x + 3)) = 0$

Schritt 2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 3) (5 x + 6) (x + 3) = 0$

Schritt 2.2.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.2.4.1

Potenziere $x + 3$ mit $1$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (5 x + 6) = 0$

Schritt 2.2.4.2

Potenziere $x + 3$ mit $1$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (5 x + 6) = 0$

Schritt 2.2.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x {(x + 3)}^{1 + 1} (5 x + 6) = 0$

Schritt 2.2.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x {(x + 3)}^{2} (5 x + 6) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$5 x + 6 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze ${(x + 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze ${(x + 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.5.2

Löse ${(x + 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.6

Setze $5 x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $5 x + 6$ gleich $0$ .

$5 x + 6 = 0$

Schritt 2.6.2

Löse $5 x + 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 6$

Schritt 2.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 6$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 6$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Schritt 2.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Schritt 2.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 6}{5}$

Schritt 2.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{6}{5}$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x {(x + 3)}^{2} (5 x + 6) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 3, - \frac{6}{5}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, - 3, - \frac{6}{5}$ .

$0, - 3, - \frac{6}{5}$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{6}{5}) \cup (- \frac{6}{5}, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 3)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = 5 {(- 4)}^{4} + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $4$ .

$f' (- 4) = 5 \cdot 256 + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $256$ .

$f' (- 4) = 1280 + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$f' (- 4) = 1280 + 36 \cdot - 64 + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $36$ mit $- 64$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Schritt 5.2.1.5

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 81 \cdot 16 + 54 (- 4)$

Schritt 5.2.1.6

Mutltipliziere $81$ mit $16$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 1296 + 54 (- 4)$

Schritt 5.2.1.7

Mutltipliziere $54$ mit $- 4$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 1296 - 216$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $2304$ von $1280$ .

$f' (- 4) = - 1024 + 1296 - 216$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 1024$ und $1296$ .

$f' (- 4) = 272 - 216$

Schritt 5.2.2.3

Subtrahiere $216$ von $272$ .

$f' (- 4) = 56$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $56$ .

$56$

Schritt 5.3

Bei $x = - 4$ ist die Ableitung $56$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 3)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 3)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 3, - \frac{6}{5})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.1$ .

$f' (- 2.1) = 5 {(- 2.1)}^{4} + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 2.1$ mit $4$ .

$f' (- 2.1) = 5 \cdot 19.4481 + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $19.4481$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 2.1$ mit $3$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 + 36 \cdot - 9.261 + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $36$ mit $- 9.261$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Schritt 6.2.1.5

Potenziere $- 2.1$ mit $2$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 81 \cdot 4.41 + 54 (- 2.1)$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $81$ mit $4.41$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 357.21 + 54 (- 2.1)$

Schritt 6.2.1.7

Mutltipliziere $54$ mit $- 2.1$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 357.21 - 113.4$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $333.396$ von $97.2405$ .

$f' (- 2.1) = - 236.1555 + 357.21 - 113.4$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 236.1555$ und $357.21$ .

$f' (- 2.1) = 121.0545 - 113.4$

Schritt 6.2.2.3

Subtrahiere $113.4$ von $121.0545$ .

$f' (- 2.1) = 7.6545$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $7.6545$ .

$7.6545$

Schritt 6.3

Bei $x = - 2.1$ ist die Ableitung $7.6545$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 3, - \frac{6}{5})$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 3, - \frac{6}{5})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1.2, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.6$ .

$f' (- 0.6) = 5 {(- 0.6)}^{4} + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 0.6$ mit $4$ .

$f' (- 0.6) = 5 \cdot 0.1296 + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $0.1296$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $- 0.6$ mit $3$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 + 36 \cdot - 0.216 + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $36$ mit $- 0.216$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Schritt 7.2.1.5

Potenziere $- 0.6$ mit $2$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 81 \cdot 0.36 + 54 (- 0.6)$

Schritt 7.2.1.6

Mutltipliziere $81$ mit $0.36$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 29.16 + 54 (- 0.6)$

Schritt 7.2.1.7

Mutltipliziere $54$ mit $- 0.6$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 29.16 - 32.4$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $7.776$ von $0.648$ .

$f' (- 0.6) = - 7.128 + 29.16 - 32.4$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 7.128$ und $29.16$ .

$f' (- 0.6) = 22.032 - 32.4$

Schritt 7.2.2.3

Subtrahiere $32.4$ von $22.032$ .

$f' (- 0.6) = - 10.368$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 10.368$ .

$- 10.368$

Schritt 7.3

Bei $x = - 0.6$ ist die Ableitung $- 10.368$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 1.2, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \frac{6}{5}, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 5 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 5 \cdot 1 + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Schritt 8.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 5 + 36 \cdot 1 + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $36$ mit $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Schritt 8.2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 5 + 36 + 81 \cdot 1 + 54 (1)$

Schritt 8.2.1.6

Mutltipliziere $81$ mit $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 + 54 (1)$

Schritt 8.2.1.7

Mutltipliziere $54$ mit $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 + 54$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 8.2.2.1

Addiere $5$ und $36$ .

$f' (1) = 41 + 81 + 54$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $41$ und $81$ .

$f' (1) = 122 + 54$

Schritt 8.2.2.3

Addiere $122$ und $54$ .

$f' (1) = 176$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $176$ .

$176$

Schritt 8.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $176$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 3), (- 3, - \frac{6}{5}), (0, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \frac{6}{5}, 0)$

Schritt 10