Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.2.5.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 1.1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 1.1.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 1.1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 1.1.3.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.3.9

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$

Schritt 2.2.2

Since $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 3, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}$ .

Schritt 2.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.2.4

Da $3$ keine Teiler außer $1$ und $3$ hat.

$3$ ist eine Primzahl

Schritt 2.2.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.2.6

Das kgV von $3, 3, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$3$

Schritt 2.2.7

Das kgV von $x^{\frac{2}{3}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.2.8

Das kgV von $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ ist der numerische Teil $3$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$3 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ mit $3 x^{\frac{2}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ mit $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.3

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.3.1

Bewege $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x^{\frac{2 + 1}{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.3.4

Addiere $2$ und $1$ .

$4 x^{\frac{3}{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.3.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$4 x^{1} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.4

Vereinfache $4 x^{1}$ .

$4 x - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ in den Zähler.

$4 x + \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x + \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 2.3.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$4 x - 1 = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Multipliziere $0 (3 x^{\frac{2}{3}})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$4 x - 1 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 x - 1 = 0$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 1$

Schritt 2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 4.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 4.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{2}{3}}$ an.

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Schritt 4.3.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x^{2} = 0$ durch $27$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x^{2} = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 4.3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 4.3.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Schritt 4.3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 4.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.3.3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.3.3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 4.3.3.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$f' (- 1) = \frac{4 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3} - \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3} - \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1)}{3} - \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6.2.1.1.4

Berechne den Exponenten.

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{3} - \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3} - \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.4.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{1}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Schritt 6.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Schritt 6.2.1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{1}{3 {(- 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.4.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{1}{3 \cdot 1}$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 6.2.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- 1) = \frac{- 4 - 1}{3}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$f' (- 1) = \frac{- 5}{3}$

Schritt 6.2.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 1) = - \frac{5}{3}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{5}{3}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- \frac{5}{3}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \frac{1}{4})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.125$ .

$f' (0.125) = \frac{4 {(0.125)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 {(0.125)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Potenziere $0.125$ mit $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.125) = \frac{4 \cdot 0.5}{3} - \frac{1}{3 {(0.125)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0.5$ .

$f' (0.125) = \frac{2}{3} - \frac{1}{3 {(0.125)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 7.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.3.1

Schreibe $2$ als $1 (2)$ um.

$f' (0.125) = \frac{1 (2)}{3} - \frac{1}{3 {(0.125)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 7.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.3.2.1

Schreibe $3$ als $1 (3)$ um.

$f' (0.125) = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} - \frac{1}{3 {(0.125)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 7.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (0.125) = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} - \frac{1}{3 {(0.125)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 7.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (0.125) = \frac{2}{3} - \frac{1}{3 {(0.125)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 7.2.1.4

Potenziere $0.125$ mit $\frac{2}{3}$ .

$f' (0.125) = \frac{2}{3} - \frac{1}{3 \cdot 0.25}$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $0.25$ .

$f' (0.125) = \frac{2}{3} - \frac{1}{0.75}$

Schritt 7.2.1.6

Dividiere $1$ durch $0.75$ .

$f' (0.125) = \frac{2}{3} - 1 \cdot 1.\overline{3}$

Schritt 7.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.\overline{3}$ .

$f' (0.125) = \frac{2}{3} - 1.\overline{3}$

Schritt 7.2.2

Um $- 1.\overline{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (0.125) = \frac{2}{3} - 1.\overline{3} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.2.3

Kombiniere $- 1.\overline{3}$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (0.125) = \frac{2}{3} + \frac{- 1.\overline{3} \cdot 3}{3}$

Schritt 7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (0.125) = \frac{2 - 1.\overline{3} \cdot 3}{3}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.5.1

Mutltipliziere $- 1.\overline{3}$ mit $3$ .

$f' (0.125) = \frac{2 - 4}{3}$

Schritt 7.2.5.2

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$f' (0.125) = \frac{- 2}{3}$

Schritt 7.2.6

Dividiere $- 2$ durch $3$ .

$f' (0.125) = - 0.\overline{6}$

Schritt 7.2.7

Die endgültige Lösung ist $- 0.\overline{6}$ .

$- 0.\overline{6}$

Schritt 7.3

Bei $x = 0.125$ ist die Ableitung $- 0.\overline{6}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, \frac{1}{4})$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, \frac{1}{4})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{1}{4}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.25$ .

$f' (1.25) = \frac{4 {(1.25)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 {(1.25)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Potenziere $1.25$ mit $\frac{1}{3}$ .

$f' (1.25) = \frac{4 \cdot 1.07721734}{3} - \frac{1}{3 {(1.25)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1.07721734$ .

$f' (1.25) = \frac{4.30886938}{3} - \frac{1}{3 {(1.25)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 8.2.1.3

Dividiere $4.30886938$ durch $3$ .

$f' (1.25) = 1.43628979 - \frac{1}{3 {(1.25)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 8.2.1.4

Potenziere $1.25$ mit $\frac{2}{3}$ .

$f' (1.25) = 1.43628979 - \frac{1}{3 \cdot 1.1603972}$

Schritt 8.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $1.1603972$ .

$f' (1.25) = 1.43628979 - \frac{1}{3.48119162}$

Schritt 8.2.1.6

Dividiere $1$ durch $3.48119162$ .

$f' (1.25) = 1.43628979 - 1 \cdot 0.28725795$

Schritt 8.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.28725795$ .

$f' (1.25) = 1.43628979 - 0.28725795$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $0.28725795$ von $1.43628979$ .

$f' (1.25) = 1.14903183$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.14903183$ .

$1.14903183$

Schritt 8.3

Bei $x = 1.25$ ist die Ableitung $1.14903183$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(\frac{1}{4}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(\frac{1}{4}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(\frac{1}{4}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 0), (0, \frac{1}{4})$

Schritt 10