Analysis Beispiele

$f (x) = - \sqrt{x + 3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 3}$ als ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 3$ .

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 3))$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 3$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Schritt 1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Schritt 1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Schritt 1.1.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Schritt 1.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Schritt 1.1.7

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Schritt 1.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = - (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

Schritt 1.1.7.3

Bringe ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

Schritt 1.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Schritt 1.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Schritt 1.1.10

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)$

Schritt 1.1.11

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 1.1.11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 2.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(x + 3)}^{1}}}$

Schritt 4.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- \frac{1}{2 \sqrt{x + 3}}$

Schritt 4.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{2 \sqrt{x + 3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{x + 3} = 0$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x + 3})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 3}$ als ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Vereinfache ${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x + 3)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 (x + 3) = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 \cdot 3 = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$4 x + 12 = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 x + 12 = 0$

Schritt 4.3.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 12$

Schritt 4.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 12$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 12$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Schritt 4.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Schritt 4.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 12}{4}$

Schritt 4.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.2.3.1

Dividiere $- 12$ durch $4$ .

$x = - 3$

Schritt 4.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 3}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 3 < 0$

Schritt 4.5

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x < - 3$

Schritt 4.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = - \sqrt{x + 3}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$ .

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 3)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 {((- 4) + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Addiere $- 4$ und $3$ .

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ um.

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Schritt 6.2.1.3

Berechne den Exponenten.

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Schritt 6.2.1.4

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 i}$

Schritt 6.2.2

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{1}{2 i}$ mit der Konjugierten von $2 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$f' (- 4) = - (\frac{1}{2 i} \cdot \frac{i}{i})$

Schritt 6.2.3

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Kombinieren.

$f' (- 4) = - \frac{1 i}{2 i i}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 i i}$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.3.1

Füge Klammern hinzu.

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Schritt 6.2.3.3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Schritt 6.2.3.3.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Schritt 6.2.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 i^{1 + 1}}$

Schritt 6.2.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 i^{2}}$

Schritt 6.2.3.3.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (- 4) = - \frac{i}{- 2}$

Schritt 6.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 4) = \frac{i}{2}$

Schritt 6.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{i}{2}$ .

$\frac{i}{2}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 4$ ist die Ableitung $\frac{i}{2}$ . Da dies eine imaginäre Zahl beinhaltet, existiert die Funktion nicht in $(- \infty, - 3)$ .

Die Funktion ist in $(- \infty, - 3)$ nicht real, da $f' (x)$ imaginär ist

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 3, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2 {((- 2) + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Addiere $- 2$ und $3$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 7.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $- \frac{1}{2}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 3, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 3, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Abfallend im Intervall: $(- 3, \infty)$

Schritt 9