Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} + 9}{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 9$ und $g (x) = x$ .

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (x^{2} + 9) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = \frac{x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} (9)) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Schritt 1.1.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9)}{x^{2}}$

Schritt 1.1.9

Vereinfache.

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Schritt 1.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

Schritt 1.1.9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 9}{x^{2}}$

Schritt 1.1.9.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9}{x^{2}}$

Schritt 1.1.9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.9.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.9.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$f' (x) = \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$(x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.3.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- 3, 3$ .

$- 3, 3$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 3)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{((- 4) + 3) ((- 4) - 3)}{{(- 4)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Addiere $- 4$ und $3$ .

$f' (- 4) = \frac{- 1 (- 4 - 3)}{{(- 4)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{- 1 \cdot - 7}{{(- 4)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f' (- 4) = \frac{- 1 \cdot - 7}{16}$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$f' (- 4) = \frac{7}{16}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{7}{16}$ .

$\frac{7}{16}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 4$ ist die Ableitung $\frac{7}{16}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 3)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 3)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 3, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{((- \frac{3}{2}) + 3) ((- \frac{3}{2}) - 3)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{(- \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}) (- \frac{3}{2} - 3)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{(- \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}) (- \frac{3}{2} - 3)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2} \cdot (- \frac{3}{2} - 3)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 3 + 6}{2} \cdot (- \frac{3}{2} - 3)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.1.4.2

Addiere $- 3$ und $6$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2} - 3)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.1.5

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.1.6

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{- 3 - 3 \cdot 2}{2}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{- 3 - 6}{2}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.1.8.2

Subtrahiere $6$ von $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{- 9}{2}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{3}{2} \cdot (- 1 (\frac{9}{2}))}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.1.10

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 7.2.1.10.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{3}{2} \cdot \frac{9}{2})}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.1.10.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{3 \cdot 9}{2 \cdot 2}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.1.10.3

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{2 \cdot 2}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.1.10.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 7.2.2.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

Schritt 7.2.2.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{1 (\frac{9}{4})}$

Schritt 7.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{\frac{9}{4}}$

Schritt 7.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Schritt 7.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 7.2.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{27}{4}$ in den Zähler.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Schritt 7.2.4.2

Faktorisiere $9$ aus $- 27$ heraus.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9 (- 3)}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Schritt 7.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9 \cdot - 3}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Schritt 7.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Schritt 7.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Schritt 7.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 3$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 7.3

Bei $x = - \frac{3}{2}$ ist die Ableitung $- 3$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 3, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 3, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 3)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{((\frac{3}{2}) + 3) ((\frac{3}{2}) - 3)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{(\frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{3}{2} - 3)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{(\frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}) (\frac{3}{2} - 3)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3 + 3 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 3)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3 + 6}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 3)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.4.2

Addiere $3$ und $6$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{9}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 3)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{9}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.6

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{9}{2} \cdot (\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{9}{2} \cdot \frac{3 - 3 \cdot 2}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{9}{2} \cdot \frac{3 - 6}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.8.2

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{9}{2} \cdot \frac{- 3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{9}{2} \cdot (- 1 (\frac{3}{2}))}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.10

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 8.2.1.10.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{9}{2} \cdot \frac{3}{2})}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.10.2

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.10.3

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{2 \cdot 2}}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.10.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{\frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 8.2.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{\frac{9}{2^{2}}}$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{27}{4}}{\frac{9}{4}}$

Schritt 8.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Schritt 8.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 8.2.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{27}{4}$ in den Zähler.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Schritt 8.2.4.2

Faktorisiere $9$ aus $- 27$ heraus.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{9 (- 3)}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Schritt 8.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{9 \cdot - 3}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Schritt 8.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Schritt 8.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Schritt 8.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{3}{2}) = - 3$

Schritt 8.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 8.3

Bei $x = \frac{3}{2}$ ist die Ableitung $- 3$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 3)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 3)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = \frac{((4) + 3) ((4) - 3)}{{(4)}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1.1

Addiere $4$ und $3$ .

$f' (4) = \frac{7 (4 - 3)}{4^{2}}$

Schritt 9.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$f' (4) = \frac{7 \cdot 1}{4^{2}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (4) = \frac{7 \cdot 1}{16}$

Schritt 9.2.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$f' (4) = \frac{7}{16}$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{7}{16}$ .

$\frac{7}{16}$

Schritt 9.3

Bei $x = 4$ ist die Ableitung $\frac{7}{16}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(3, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(3, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 10

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 3), (3, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- 3, 0), (0, 3)$

Schritt 11