Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot ((x^{2} - 4) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 (x \cdot x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 4) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.6.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.6.3.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.1.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} - 12 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.2

Subtrahiere $2 x^{4}$ von $3 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4} - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - 12 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.6.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.4.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 12}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.4.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 12$ heraus.

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.6.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.6.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Schritt 1.1.6.5.3

Wende die Produktregel auf $(x + 2) (x - 2)$ an.

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} (x^{2} - 12) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 12 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.3.2.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.3.2.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.3.3

Setze $x^{2} - 12$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $x^{2} - 12$ gleich $0$ .

$x^{2} - 12 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Löse $x^{2} - 12 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.2.1

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 12$

Schritt 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{12}$

Schritt 2.3.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{12}$ .

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Schritt 2.3.3.2.3.1

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.3.3.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \pm \sqrt{4 (3)}$

Schritt 2.3.3.2.3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Schritt 2.3.3.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 2 \sqrt{3}$

Schritt 2.3.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 \sqrt{3}$

Schritt 2.3.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 \sqrt{3}$

Schritt 2.3.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (x^{2} - 12) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$ .

$0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.2.1

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.2.2

Löse ${(x + 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.2.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 4.2.2.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 4.2.3

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.1

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.3.2

Löse ${(x - 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.2.3.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2$

Schritt 4.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 2, x = 2$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 2 \sqrt{3}) \cup (- 2 \sqrt{3}, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 2 \sqrt{3}) \cup (2 \sqrt{3}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4.4641016$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{{(- 4.4641016)}^{2} ({(- 4.4641016)}^{2} - 12)}{{((- 4.4641016) + 2)}^{2} {((- 4.4641016) - 2)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 4.4641016$ mit $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{{(- 4.4641016)}^{2} (19.92820309 - 12)}{{(- 4.4641016 + 2)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Subtrahiere $12$ von $19.92820309$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{{(- 4.4641016)}^{2} \cdot 7.92820309}{{(- 4.4641016 + 2)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 4.4641016$ mit $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(- 4.4641016 + 2)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 4.4641016$ und $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(- 2.4641016)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 4.4641016$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(- 2.4641016)}^{2} {(- 6.4641016)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $- 2.4641016$ mit $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{6.07179669 {(- 6.4641016)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.4

Potenziere $- 6.4641016$ mit $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{6.07179669 \cdot 41.78460949}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $19.92820309$ mit $7.92820309$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{157.99484145}{6.07179669 \cdot 41.78460949}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $6.07179669$ mit $41.78460949$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{157.99484145}{253.70765383}$

Schritt 6.2.3.3

Dividiere $157.99484145$ durch $253.70765383$ .

$f' (- 4.4641016) = 0.62274369$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.62274369$ .

$0.62274369$

Schritt 6.3

Bei $x = - 4.4641016$ ist die Ableitung $0.62274369$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 3.4641016, - 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.7320508$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{{(- 2.7320508)}^{2} ({(- 2.7320508)}^{2} - 12)}{{((- 2.7320508) + 2)}^{2} {((- 2.7320508) - 2)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 2.7320508$ mit $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{{(- 2.7320508)}^{2} (7.46410157 - 12)}{{(- 2.7320508 + 2)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Subtrahiere $12$ von $7.46410157$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{{(- 2.7320508)}^{2} \cdot - 4.53589842}{{(- 2.7320508 + 2)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $- 2.7320508$ mit $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(- 2.7320508 + 2)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $- 2.7320508$ und $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(- 0.7320508)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 2.7320508$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(- 0.7320508)}^{2} {(- 4.7320508)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $- 0.7320508$ mit $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{0.53589837 {(- 4.7320508)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.4

Potenziere $- 4.7320508$ mit $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{0.53589837 \cdot 22.39230477}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $7.46410157$ mit $- 4.53589842$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{0.53589837 \cdot 22.39230477}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $0.53589837$ mit $22.39230477$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{11.99999971}$

Schritt 7.2.3.3

Dividiere $- 33.85640658$ durch $11.99999971$ .

$f' (- 2.7320508) = - 2.82136728$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2.82136728$ .

$- 2.82136728$

Schritt 7.3

Bei $x = - 2.7320508$ ist die Ableitung $- 2.82136728$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 3.4641016, - 2)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 2 \sqrt{3}, - 2)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} ({(- 1)}^{2} - 12)}{{((- 1) + 2)}^{2} {((- 1) - 2)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} (1 - 12)}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Subtrahiere $12$ von $1$ .

$f' (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} \cdot - 11}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = \frac{1 \cdot - 11}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $- 11$ mit $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1^{2} {(- 3)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1 {(- 3)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.4

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1 \cdot 9}$

Schritt 8.2.2.5

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{9}$

Schritt 8.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 1) = - \frac{11}{9}$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{11}{9}$ .

$- \frac{11}{9}$

Schritt 8.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- \frac{11}{9}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 2, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 2, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = \frac{{(1)}^{2} ({(1)}^{2} - 12)}{{((1) + 2)}^{2} {((1) - 2)}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = \frac{1^{2} (1 - 12)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2

Subtrahiere $12$ von $1$ .

$f' (1) = \frac{1^{2} \cdot - 11}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = \frac{1 \cdot - 11}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.4

Mutltipliziere $- 11$ mit $1$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{9 {(- 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{9 \cdot 1}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.3.1

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{9}$

Schritt 9.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (1) = - \frac{11}{9}$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{11}{9}$ .

$- \frac{11}{9}$

Schritt 9.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- \frac{11}{9}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 2)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 2)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, 2 \sqrt{3})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.7320508$ .

$f' (2.7320508) = \frac{{(2.7320508)}^{2} ({(2.7320508)}^{2} - 12)}{{((2.7320508) + 2)}^{2} {((2.7320508) - 2)}^{2}}$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1.1

Potenziere $2.7320508$ mit $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{{2.7320508}^{2} (7.46410157 - 12)}{{(2.7320508 + 2)}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

Schritt 10.2.1.2

Subtrahiere $12$ von $7.46410157$ .

$f' (2.7320508) = \frac{{2.7320508}^{2} \cdot - 4.53589842}{{(2.7320508 + 2)}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

Schritt 10.2.1.3

Potenziere $2.7320508$ mit $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(2.7320508 + 2)}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.1

Addiere $2.7320508$ und $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{4.7320508}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

Schritt 10.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $2.7320508$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{4.7320508}^{2} \cdot {0.7320508}^{2}}$

Schritt 10.2.2.3

Potenziere $4.7320508$ mit $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{22.39230477 \cdot {0.7320508}^{2}}$

Schritt 10.2.2.4

Potenziere $0.7320508$ mit $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{22.39230477 \cdot 0.53589837}$

Schritt 10.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.1

Mutltipliziere $7.46410157$ mit $- 4.53589842$ .

$f' (2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{22.39230477 \cdot 0.53589837}$

Schritt 10.2.3.2

Mutltipliziere $22.39230477$ mit $0.53589837$ .

$f' (2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{11.99999971}$

Schritt 10.2.3.3

Dividiere $- 33.85640658$ durch $11.99999971$ .

$f' (2.7320508) = - 2.82136728$

Schritt 10.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2.82136728$ .

$- 2.82136728$

Schritt 10.3

Bei $x = 2.7320508$ ist die Ableitung $- 2.82136728$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(2, 2 \sqrt{3})$ ab.

Abfallend im Intervall $(2, 2 \sqrt{3})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 11

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2 \sqrt{3}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4.4641016$ .

$f' (4.4641016) = \frac{{(4.4641016)}^{2} ({(4.4641016)}^{2} - 12)}{{((4.4641016) + 2)}^{2} {((4.4641016) - 2)}^{2}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.1

Potenziere $4.4641016$ mit $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{{4.4641016}^{2} (19.92820309 - 12)}{{(4.4641016 + 2)}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2

Subtrahiere $12$ von $19.92820309$ .

$f' (4.4641016) = \frac{{4.4641016}^{2} \cdot 7.92820309}{{(4.4641016 + 2)}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

Schritt 11.2.1.3

Potenziere $4.4641016$ mit $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(4.4641016 + 2)}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.1

Addiere $4.4641016$ und $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{6.4641016}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

Schritt 11.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $4.4641016$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{6.4641016}^{2} \cdot {2.4641016}^{2}}$

Schritt 11.2.2.3

Potenziere $6.4641016$ mit $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{41.78460949 \cdot {2.4641016}^{2}}$

Schritt 11.2.2.4

Potenziere $2.4641016$ mit $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{41.78460949 \cdot 6.07179669}$

Schritt 11.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.3.1

Mutltipliziere $19.92820309$ mit $7.92820309$ .

$f' (4.4641016) = \frac{157.99484145}{41.78460949 \cdot 6.07179669}$

Schritt 11.2.3.2

Mutltipliziere $41.78460949$ mit $6.07179669$ .

$f' (4.4641016) = \frac{157.99484145}{253.70765383}$

Schritt 11.2.3.3

Dividiere $157.99484145$ durch $253.70765383$ .

$f' (4.4641016) = 0.62274369$

Schritt 11.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.62274369$ .

$0.62274369$

Schritt 11.3

Bei $x = 4.4641016$ ist die Ableitung $0.62274369$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(2 \sqrt{3}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(2 \sqrt{3}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 12

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 2 \sqrt{3}), (2 \sqrt{3}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- 2 \sqrt{3}, - 2), (- 2, 0), (0, 2), (2, 2 \sqrt{3})$

Schritt 13