Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 80}{x - 9}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 80$ und $g (x) = x - 9$ .

$\frac{(x - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 80] - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 80$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 80]$ .

$\frac{(x - 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 80]) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x - 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 80]) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 80$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 80$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 9) (2 x + 0) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x - 9) (2 x) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 9$ .

$\frac{2 \cdot (x - 9) x - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) (1 + 0)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) \cdot 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 9) x - (x^{2} - 80)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 9 x - (x^{2} - 80)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 9 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 9 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 9 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$\frac{2 x^{2} - 18 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 80$ .

$\frac{2 x^{2} - 18 x - x^{2} + 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 18 x + 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Faktorisiere $x^{2} - 18 x + 80$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.3.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $80$ und deren Summe $- 18$ ist.

$- 10, - 8$

Schritt 1.1.3.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f' (x) = \frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$(x - 10) (x - 8) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

$x - 8 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $x - 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $x - 10$ gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 10$

Schritt 2.3.3

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 10) (x - 8) = 0$ wahr machen.

$x = 10, 8$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $10, 8$ .

$10, 8$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 9)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 8) \cup (8, 9) \cup (9, 10) \cup (10, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 8)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f' (7) = \frac{((7) - 10) ((7) - 8)}{{((7) - 9)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Subtrahiere $10$ von $7$ .

$f' (7) = \frac{- 3 (7 - 8)}{{(7 - 9)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Subtrahiere $8$ von $7$ .

$f' (7) = \frac{- 3 \cdot - 1}{{(7 - 9)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $9$ von $7$ .

$f' (7) = \frac{- 3 \cdot - 1}{{(- 2)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (7) = \frac{- 3 \cdot - 1}{4}$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f' (7) = \frac{3}{4}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Schritt 6.3

Bei $x = 7$ ist die Ableitung $\frac{3}{4}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 8)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 8)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(8, 9)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{17}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{((\frac{17}{2}) - 10) ((\frac{17}{2}) - 8)}{{((\frac{17}{2}) - 9)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Um $- 10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{(\frac{17}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Kombiniere $- 10$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{(\frac{17}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2}) (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{17 - 10 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{17 - 20}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.4.2

Subtrahiere $20$ von $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{- 3}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.6

Um $- 8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.7

Kombiniere $- 8$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{17}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{17 - 8 \cdot 2}{2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.9.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{17 - 16}{2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.9.2

Subtrahiere $16$ von $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.10

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 7.2.1.10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Um $- 9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Kombiniere $- 9$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17 - 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.4.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17 - 18}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.4.2

Subtrahiere $18$ von $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{- 1}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.6

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.8

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 7.2.2.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1}{2^{2}})}$

Schritt 7.2.2.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1}{4})}$

Schritt 7.2.2.11

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}$

Schritt 7.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (\frac{17}{2}) = - \frac{3}{4} \cdot 4$

Schritt 7.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Schritt 7.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Schritt 7.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{17}{2}) = - 3$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 7.3

Bei $x = \frac{17}{2}$ ist die Ableitung $- 3$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(8, 9)$ ab.

Abfallend im Intervall $(8, 9)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(9, 10)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{19}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{((\frac{19}{2}) - 10) ((\frac{19}{2}) - 8)}{{((\frac{19}{2}) - 9)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Um $- 10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{(\frac{19}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Kombiniere $- 10$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{(\frac{19}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2}) (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{\frac{19 - 10 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{\frac{19 - 20}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.4.2

Subtrahiere $20$ von $19$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{\frac{- 1}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.6

Um $- 8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.7

Kombiniere $- 8$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{19 - 8 \cdot 2}{2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.9.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{19 - 16}{2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.9.2

Subtrahiere $16$ von $19$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.10

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 8.2.1.10.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Um $- 9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Kombiniere $- 9$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19 - 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.4.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19 - 18}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.4.2

Subtrahiere $18$ von $19$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 8.2.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{2^{2}}}$

Schritt 8.2.2.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}$

Schritt 8.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (\frac{19}{2}) = - \frac{3}{4} \cdot 4$

Schritt 8.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.2.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Schritt 8.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Schritt 8.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{19}{2}) = - 3$

Schritt 8.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 8.3

Bei $x = \frac{19}{2}$ ist die Ableitung $- 3$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(9, 10)$ ab.

Abfallend im Intervall $(9, 10)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(10, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $11$ .

$f' (11) = \frac{((11) - 10) ((11) - 8)}{{((11) - 9)}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1.1

Subtrahiere $10$ von $11$ .

$f' (11) = \frac{1 (11 - 8)}{{(11 - 9)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere $11 - 8$ mit $1$ .

$f' (11) = \frac{11 - 8}{{(11 - 9)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.3

Subtrahiere $8$ von $11$ .

$f' (11) = \frac{3}{{(11 - 9)}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.2.1

Subtrahiere $9$ von $11$ .

$f' (11) = \frac{3}{2^{2}}$

Schritt 9.2.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (11) = \frac{3}{4}$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Schritt 9.3

Bei $x = 11$ ist die Ableitung $\frac{3}{4}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(10, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(10, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 10

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 8), (10, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(8, 9), (9, 10)$

Schritt 11