Analysis Beispiele

$f (x) = {(x + 5)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x + 5$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 5$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 5)$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5)$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 5$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 5)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5)$

Schritt 1.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 5)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 5)$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 5)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 5)$

Schritt 1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 5)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 5)$

Schritt 1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 5)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 5)$

Schritt 1.1.5.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 5)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 5)$

Schritt 1.1.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 5)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 5)$

Schritt 1.1.6.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x + 5)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 5)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5)$

Schritt 1.1.6.3

Bringe ${(x + 5)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5)$

Schritt 1.1.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))$

Schritt 1.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (5))$

Schritt 1.1.9

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Schritt 1.1.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Schritt 1.1.10.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Schritt 2.3

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 4.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{{(x + 5)}^{1}}}$

Schritt 4.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x + 5}}$

Schritt 4.2

Setze den Nenner in $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x + 5}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{x + 5} = 0$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{x + 5})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x + 5}$ als ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ an.

$3^{3} {({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 {(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 {(x + 5)}^{1} = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$27 (x + 5) = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$27 x + 27 \cdot 5 = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.2.1.6

Mutltipliziere $27$ mit $5$ .

$27 x + 135 = 0^{3}$

Schritt 4.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 x + 135 = 0$

Schritt 4.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.3.1

Subtrahiere $135$ von beiden Seiten der Gleichung.

$27 x = - 135$

Schritt 4.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $27 x = - 135$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x = - 135$ durch $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{- 135}{27}$

Schritt 4.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 4.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x}{27} = \frac{- 135}{27}$

Schritt 4.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 135}{27}$

Schritt 4.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.2.3.1

Dividiere $- 135$ durch $27$ .

$x = - 5$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = {(x + 5)}^{\frac{2}{3}}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$ .

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 5)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f' (- 6) = \frac{2}{3 {((- 6) + 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1.1

Addiere $- 6$ und $5$ .

$f' (- 6) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$f' (- 6) = \frac{2}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 6.2.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 6) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Schritt 6.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 6) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Schritt 6.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 6) = \frac{2}{3 (- 1)}$

Schritt 6.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$f' (- 6) = \frac{2}{3 \cdot - 1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f' (- 6) = \frac{2}{- 3}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 6) = - \frac{2}{3}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 6$ ist die Ableitung $- \frac{2}{3}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 5)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 5)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 5, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{2}{3 {((- 4) + 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1.1

Addiere $- 4$ und $5$ .

$f' (- 4) = \frac{2}{3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 7.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (- 4) = \frac{2}{3 \cdot 1}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (- 4) = \frac{2}{3}$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 7.3

Bei $x = - 4$ ist die Ableitung $\frac{2}{3}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 5, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 5, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- 5, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 5)$

Schritt 9