Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2} - 4}$ als ${(x^{2} - 4)}^{- 1}$ um.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4)}^{- 1})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

Schritt 1.1.3.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + 0)$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x)$

Schritt 1.1.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(x^{2} - 4)}^{- 2} x$

Schritt 1.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Schritt 1.1.5

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.5.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Schritt 1.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Schritt 1.1.5.3

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.5.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0$ .

$0$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.3

Wende die Produktregel auf $(x + 2) (x - 2)$ an.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.3

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.1

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.3.2

Löse ${(x + 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 4.2.3.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 4.2.4

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.4.1

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.4.2

Löse ${(x - 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.4.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.2.4.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2$

Schritt 4.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 2, x = 2$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{2 (- 3)}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{(9 - 4)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{5^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{25}$

Schritt 6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 3) = \frac{6}{25}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{6}{25}$ .

$\frac{6}{25}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 3$ ist die Ableitung $\frac{6}{25}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 2)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(1 - 4)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(- 3)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{9}$

Schritt 7.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 1) = \frac{2}{9}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9}$

Schritt 7.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $\frac{2}{9}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 2, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 2, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1)}{{({(1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (1) = - \frac{2}{{(1^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - \frac{2}{{(1 - 4)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f' (1) = - \frac{2}{{(- 3)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (1) = - \frac{2}{9}$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2}{9}$ .

$- \frac{2}{9}$

Schritt 8.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- \frac{2}{9}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 2)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 2)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = - \frac{2 (3)}{{({(3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f' (3) = - \frac{6}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (3) = - \frac{6}{{(9 - 4)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$f' (3) = - \frac{6}{5^{2}}$

Schritt 9.2.2.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (3) = - \frac{6}{25}$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{6}{25}$ .

$- \frac{6}{25}$

Schritt 9.3

Bei $x = 3$ ist die Ableitung $- \frac{6}{25}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(2, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(2, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

Abfallend im Intervall: $(0, 2), (2, \infty)$

Schritt 11