Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 + x^{2}$ und $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2})) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (x^{2})) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2}) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((1 - x^{2}) x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.10

Multipliziere.

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Schritt 1.1.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + 1 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.10.2

Mutltipliziere $1 + x^{2}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.12

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 \cdot ((1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.5.1.2.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.5.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{3}) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.5.1.5.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.5.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}$ .

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Schritt 1.1.3.5.2.1

Addiere $- 2 x^{3}$ und $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 x + 0}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.2.2

Addiere $2 x + 2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.3

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.3.7.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f' (x) = \frac{4 x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.7.2

Stelle $- x^{2}$ und $1^{2}$ um.

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.7.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$

Schritt 1.1.3.7.4

Wende die Produktregel auf $(1 + x) (1 - x)$ an.

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 x = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x = 0$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0$ .

$0$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(1 + x)}^{2} = 0$

${(1 - x)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Setze ${(1 + x)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.2.1

Setze ${(1 + x)}^{2}$ gleich $0$ .

${(1 + x)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.2.2

Löse ${(1 + x)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.2.2.1

Setze $1 + x$ gleich $0$ .

$1 + x = 0$

Schritt 4.2.2.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4.2.3

Setze ${(1 - x)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.1

Setze ${(1 - x)}^{2}$ gleich $0$ .

${(1 - x)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.3.2

Löse ${(1 - x)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.2.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 4.2.3.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 4.2.3.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.3.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.3.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.2.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.3.2.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.3.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.2.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1$

Schritt 4.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 1, x = 1$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.1.1

Entferne die Klammern.

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} {(1 + 2)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} \cdot 3^{2}}$

Schritt 6.2.2.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{1 \cdot 3^{2}}$

Schritt 6.2.2.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{1 \cdot 9}$

Schritt 6.2.2.6

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{9}$

Schritt 6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 2) = - \frac{8}{9}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $- \frac{8}{9}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (- \frac{1}{2}))}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Entferne die Klammern.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (- \frac{1}{2}))}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 4 (\frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{2 - 1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.3.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.3.5

Multipliziere $- - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 7.2.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + 1 (\frac{1}{2}))}^{2}}$

Schritt 7.2.3.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.3.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2 + 1}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.3.8

Addiere $2$ und $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.3.9

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 7.2.3.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{2^{2}} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 7.2.3.11

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 7.2.3.12

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{2^{2}}}$

Schritt 7.2.3.13

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}}$

Schritt 7.2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.4.1

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{9}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{9}{4 \cdot 4}}$

Schritt 7.2.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{9}{16}}$

Schritt 7.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (- \frac{1}{2}) = - 2 (\frac{16}{9})$

Schritt 7.2.6

Multipliziere $- 2 (\frac{16}{9})$ .

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Schritt 7.2.6.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{16}{9}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 16}{9}$

Schritt 7.2.6.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $16$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 32}{9}$

Schritt 7.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{32}{9}$

Schritt 7.2.8

Die endgültige Lösung ist $- \frac{32}{9}$ .

$- \frac{32}{9}$

Schritt 7.3

Bei $x = - \frac{1}{2}$ ist die Ableitung $- \frac{32}{9}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 1, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 1, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (\frac{1}{2}))}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.2.1.1

Entferne die Klammern.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (\frac{1}{2}))}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{2 + 1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.4

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2 - 1}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.7

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.8

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 8.2.2.9

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{2^{2}} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 8.2.2.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 8.2.2.11

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2^{2}}}$

Schritt 8.2.2.12

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Schritt 8.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.2.3.1

Dividiere $4$ durch $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Schritt 8.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{4 \cdot 4}}$

Schritt 8.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{16}}$

Schritt 8.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{16}{9})$

Schritt 8.2.5

Multipliziere $2 (\frac{16}{9})$ .

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Schritt 8.2.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{16}{9}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 16}{9}$

Schritt 8.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{32}{9}$

Schritt 8.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{32}{9}$ .

$\frac{32}{9}$

Schritt 8.3

Bei $x = \frac{1}{2}$ ist die Ableitung $\frac{32}{9}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, 1)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, 1)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = \frac{4 (2)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.1.1

Entferne die Klammern.

$f' (2) = \frac{4 (2)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.2.1

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Schritt 9.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.3

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{9 {(- 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{9 \cdot 1}$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{9}$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Schritt 9.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $\frac{8}{9}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(1, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 10

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(0, 1), (1, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 1), (- 1, 0)$

Schritt 11