Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{- 4}{x^{2} - 2 x - 3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3}]$

Schritt 1.1.1.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$

Schritt 1.1.1.3

Schreibe $\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$ als ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}$ um.

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 2 x - 3$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 2 x - 3$ .

$- 4 (- {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$4 ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Schritt 1.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 1.1.3.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 1.1.3.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 1.1.3.7

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

Schritt 1.1.3.8

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2)$

Schritt 1.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Schritt 1.1.5.2

Stelle die Faktoren von $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$ um.

$f' (x) = (2 x - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$ .

$(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 2 = 0$

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Schritt 2.3

Setze $2 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $2 x - 2$ gleich $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $2 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 2$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.3.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$x = 1$

Schritt 2.4

Setze $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ gleich $0$ .

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$4 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Da $4 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$ wahr machen.

$x = 1$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $1$ .

$1$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.2.1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 4.2.1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

${((x - 3) (x + 1))}^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.2

Wende die Produktregel auf $(x - 3) (x + 1)$ an.

${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.3

Setze ${(x - 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.1

Setze ${(x - 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.3.2

Löse ${(x - 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 4.2.3.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4.2.4

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.4.1

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.4.2

Löse ${(x + 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.4.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.2.4.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 1$

Schritt 4.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 1, x = 3$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{({(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 - 3)}^{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 2 \cdot - 2 - 3)}^{2}})$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(4 + 4 - 3)}^{2}})$

Schritt 6.2.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(8 - 3)}^{2}})$

Schritt 6.2.1.4

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{5^{2}})$

Schritt 6.2.1.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{25})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = (- 4 - 2) (\frac{4}{25})$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 4$ .

$f' (- 2) = - 6 (\frac{4}{25})$

Schritt 6.2.3

Multipliziere $- 6 (\frac{4}{25})$ .

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Schritt 6.2.3.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{4}{25}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 6 \cdot 4}{25}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 24}{25}$

Schritt 6.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 2) = - \frac{24}{25}$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{24}{25}$ .

$- \frac{24}{25}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $- \frac{24}{25}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{({(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 3)}^{2}})$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 - 2 \cdot 0 - 3)}^{2}})$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 + 0 - 3)}^{2}})$

Schritt 7.2.1.3

Addiere $0$ und $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 - 3)}^{2}})$

Schritt 7.2.1.4

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(- 3)}^{2}})$

Schritt 7.2.1.5

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{9})$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f' (0) = (0 - 2) (\frac{4}{9})$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$f' (0) = - 2 (\frac{4}{9})$

Schritt 7.2.3

Multipliziere $- 2 (\frac{4}{9})$ .

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Schritt 7.2.3.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4}{9}$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 4}{9}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f' (0) = \frac{- 8}{9}$

Schritt 7.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (0) = - \frac{8}{9}$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Schritt 7.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $- \frac{8}{9}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 1, 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 1, 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, 3)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{({(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 3)}^{2}})$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 2 \cdot 2 - 3)}^{2}})$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 4 - 3)}^{2}})$

Schritt 8.2.1.3

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(0 - 3)}^{2}})$

Schritt 8.2.1.4

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(- 3)}^{2}})$

Schritt 8.2.1.5

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{9})$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = (4 - 2) (\frac{4}{9})$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$f' (2) = 2 (\frac{4}{9})$

Schritt 8.2.3

Multipliziere $2 (\frac{4}{9})$ .

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Schritt 8.2.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{9}$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 4}{9}$

Schritt 8.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (2) = \frac{8}{9}$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Schritt 8.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $\frac{8}{9}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(1, 3)$ an.

Ansteigend im Intervall $(1, 3)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{({(4)}^{2} - 2 \cdot 4 - 3)}^{2}})$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(16 - 2 \cdot 4 - 3)}^{2}})$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(16 - 8 - 3)}^{2}})$

Schritt 9.2.1.3

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(8 - 3)}^{2}})$

Schritt 9.2.1.4

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{5^{2}})$

Schritt 9.2.1.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{25})$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (4) = (8 - 2) (\frac{4}{25})$

Schritt 9.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$f' (4) = 6 (\frac{4}{25})$

Schritt 9.2.3

Multipliziere $6 (\frac{4}{25})$ .

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Schritt 9.2.3.1

Kombiniere $6$ und $\frac{4}{25}$ .

$f' (4) = \frac{6 \cdot 4}{25}$

Schritt 9.2.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$f' (4) = \frac{24}{25}$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{24}{25}$ .

$\frac{24}{25}$

Schritt 9.3

Bei $x = 4$ ist die Ableitung $\frac{24}{25}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(3, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(3, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 10

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(1, 3), (3, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 1), (- 1, 1)$

Schritt 11