Analysis Beispiele

$f (x) = 3^{- x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 3^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (3^{u}) \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $3$ .

$f' (x) = 3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) (- \frac{d}{d x} x)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) (- 1 \cdot 1)$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) \cdot - 1$

Schritt 1.1.2.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $3^{- x} \ln (3)$ .

$f' (x) = - 1 \cdot (3^{- x} \ln (3))$

Schritt 1.1.2.3.3

Schreibe $- 1 \cdot 3^{- x}$ als $- 3^{- x}$ um.

$f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 3^{- x} \ln (3)$ .

$- 3^{- x} \ln (3)$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 3^{- x} \ln (3) = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 3^{- x} \ln (3) = 0$

Schritt 2.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

Keine Lösung

Schritt 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 4

An keinem Punkt ist die Ableitung $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ gleich $0$ oder nicht definiert. Das Intervall, für das zu prüfen ist, ob $f (x) = 3^{- x}$ ansteigt oder abfällt, ist $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl, wie $1$ , aus dem Intervall $(- \infty, \infty)$ in die Ableitung $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ ein, um zu prüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist. Wenn das Ergebnis negativ ist, fällt der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ ab. Ist das Ergebnis positiv, steigt der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ an.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - 3^{- (1)} \ln (3)$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (1) = - 3^{- 1} \ln (3)$

Schritt 5.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{3} \cdot \ln (3)$

Schritt 5.2.3

Multipliziere $- \frac{1}{3} \ln (3)$ .

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Schritt 5.2.3.1

Stelle $\ln (3)$ und $\frac{1}{3}$ um.

$f' (1) = - (\frac{1}{3} \cdot \ln (3))$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (3)$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$f' (1) = - \ln (3^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \ln (3^{\frac{1}{3}})$ .

$- \ln (3^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6

Das Ergebnis des Einsetzens von $1$ in $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ ist $- \ln (3^{\frac{1}{3}})$ , was negativ ist, folglich ist der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ abfallend.

Abfallend im Intervall $(- \infty, \infty)$

Schritt 7

Abfallend im Intervall $(- \infty, \infty)$ bedeutet, dass die Funktion immer abfallend ist.

Immer abnehmend

Schritt 8