Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 36}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{x^{2} - 36}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} - 36$ .

$2 \frac{(x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} - 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $x^{2} - 36$ mit $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 36$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Da $- 36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 36$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.8

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.9

Kombiniere $2$ und $\frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 36)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.10.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 36$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$- 2 x^{2} - 72 = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $72$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} = 72$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = 72$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = 72$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{72}{- 2}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.1

Dividiere $72$ durch $- 2$ .

$x^{2} = - 36$

Schritt 2.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 36}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- 36}$ .

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $- 36$ als $- 1 (36)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (36)}$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (36)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$

Schritt 2.3.4.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{36}$

Schritt 2.3.4.4

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}$

Schritt 2.3.4.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 6$

Schritt 2.3.4.6

Bringe $6$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 6 i$

Schritt 2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 6 i$

Schritt 2.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 6 i$

Schritt 2.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 6 i, - 6 i$

Schritt 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x^{2} - 36)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

${(x^{2} - 6^{2})}^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 6$ .

${((x + 6) (x - 6))}^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.3

Wende die Produktregel auf $(x + 6) (x - 6)$ an.

${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

${(x - 6)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.3

Setze ${(x + 6)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.1

Setze ${(x + 6)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.3.2

Löse ${(x + 6)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.2.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 4.2.3.2.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 4.2.4

Setze ${(x - 6)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.4.1

Setze ${(x - 6)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.4.2

Löse ${(x - 6)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.4.2.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 4.2.4.2.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 6, 6$

Schritt 4.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 6, x = 6$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 6) \cup (6, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 6)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 7$ .

$f' (- 7) = \frac{- 2 {(- 7)}^{2} - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $49$ .

$f' (- 7) = \frac{- 98 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.3

Subtrahiere $72$ von $- 98$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $36$ von $49$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $13$ mit $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{169}$

Schritt 6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 7) = - \frac{170}{169}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{170}{169}$ .

$- \frac{170}{169}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 7$ ist die Ableitung $- \frac{170}{169}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 6)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 6)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 6, 6)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} - 72}{{({(0)}^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f' (0) = \frac{0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.3

Subtrahiere $72$ von $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0 - 36)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $36$ von $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(- 36)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $- 36$ mit $2$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{1296}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 72$ und $1296$ .

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Schritt 7.2.3.1.1

Faktorisiere $72$ aus $- 72$ heraus.

$f' (0) = \frac{72 (- 1)}{1296}$

Schritt 7.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.1.2.1

Faktorisiere $72$ aus $1296$ heraus.

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

Schritt 7.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

Schritt 7.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (0) = \frac{- 1}{18}$

Schritt 7.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (0) = - \frac{1}{18}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{18}$ .

$- \frac{1}{18}$

Schritt 7.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $- \frac{1}{18}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 6, 6)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 6, 6)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(6, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f' (7) = \frac{- 2 {(7)}^{2} - 72}{{({(7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f' (7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $49$ .

$f' (7) = \frac{- 98 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.3

Subtrahiere $72$ von $- 98$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $36$ von $49$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $13$ mit $2$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{169}$

Schritt 8.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (7) = - \frac{170}{169}$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{170}{169}$ .

$- \frac{170}{169}$

Schritt 8.3

Bei $x = 7$ ist die Ableitung $- \frac{170}{169}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(6, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(6, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 6), (- 6, 6), (6, \infty)$

Schritt 10